Правило трех сигм

Правило трех сигм, также известное как эмпирическое правило, — статистическая концепция, важная для контроля качества, управления процессами и, особенно, для алгоритмической торговли. Оно утверждает, что для нормального распределения почти все данные лежат в пределах трех стандартных отклонений (σ) от среднего (μ). В частности:

около 68% точек лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего;
примерно 95% — в пределах двух стандартных отклонений;
почти 99,7% — в пределах трех стандартных отклонений.

Применение в алгоритмической торговле

Управление рисками

Правило трех сигм помогает управлять риском в алгоритмической торговле. Понимая распределение доходностей, трейдеры могут устанавливать стоп-лоссы и тейк-профиты с учетом вероятности экстремальных событий. Например, выход из позиции может быть запланирован при выходе цены за пределы диапазона трех сигм, что статистически маловероятно и сигнализирует о нетипичном поведении рынка.

Анализ волатильности

Волатильность — ключевой фактор в алгоритмической торговле. Правило трех сигм помогает измерять и интерпретировать волатильность, вычисляя стандартное отклонение цен. Знание того, что около 95% движений попадает в диапазон двух сигм, дает вероятностное понимание поведения рынка.

Статистический арбитраж

Стратегии статистического арбитража часто опираются на правило трех сигм. Они ищут статистические перекосы между связанными инструментами, которые со временем возвращаются к норме. Применение правила трех сигм помогает выявлять значимые отклонения от типичной корреляции, сигнализируя об арбитражной возможности.

Бэктестинг

Стратегии обычно проверяются на исторических данных. Правило трех сигм помогает задавать реалистичные пороги и выделять выбросы. Оно позволяет отфильтровать шум и оставить значимые сигналы, обеспечивая устойчивость стратегии не только в идеальных условиях, но и во время стрессовых периодов.

Размер позиции

Правильный размер позиции важен для устойчивости стратегии. Правило трех сигм дает количественную оценку риска (волатильности) актива. Зная стандартное отклонение доходностей, трейдеры могут выбирать размер позиции так, чтобы снизить вероятность критических потерь.

Расчет и интерпретация

Среднее (μ): среднее значение набора чисел рассчитывается как:

[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i ]

где (N) — число наблюдений, а (x_i) — значение i-го наблюдения.

Стандартное отклонение (σ): показывает, насколько разбросаны значения, и рассчитывается как:

[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} ]

Диапазон трех сигм: значения в пределах трех стандартных отклонений от среднего:

[ [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma] ]

Пример на Python

Ниже приведен простой пример расчета правила трех сигм на выборке данных:

import numpy as np

# Sample data (e.g., daily returns of a stock)
data = [0.001, 0.002, -0.003, 0.004, -0.002, 0.0015, -0.0015, 0.0025, -0.0035, 0.002]

# Calculate mean
mean = np.mean(data)

# Calculate standard deviation
std_dev = np.std(data, ddof=1)

# Calculate 3-sigma range
lower_bound = mean - 3 * std_dev
upper_bound = mean + 3 * std_dev

print("Mean:", mean)
print("Standard Deviation:", std_dev)
print("3-Sigma Range:", (lower_bound, upper_bound))

Критика и ограничения

Предположение нормальности

Главное ограничение правила трех сигм — предположение, что данные распределены нормально. На финансовых рынках доходности часто имеют «толстые хвосты» и асимметрию, поэтому нормальное распределение не всегда адекватно.

Экстремальные события

Экстремальные движения рынка, часто называемые «черными лебедями», выходят за пределы диапазона трех сигм. Эти события редки, но имеют сильные последствия, и правило трех сигм их не учитывает. Трейдеры, полагающиеся только на это правило, могут оказаться не готовыми к таким аномалиям.

Заключение

Несмотря на ограничения, правило трех сигм остается ценным статистическим инструментом для алгоритмических трейдеров. Оно дает количественную рамку для понимания поведения рынка, управления рисками и разработки устойчивых стратегий. Включая правило трех сигм в методологию, трейдеры могут принимать более обоснованные решения и повышать вероятность долгосрочного успеха.

За дополнительной информацией о алгоритмической торговле и решениях по управлению рисками можно обратиться к Algorithmic Trading Group.