Модели без арбитража

Введение

В мире количественных финансов и алгоритмической торговли модели без арбитража необходимы для обеспечения отсутствия арбитражных возможностей, которые могут приводить к безрисковой прибыли в идеальном рынке. Финансисты, трейдеры и исследователи используют эти модели для оценки ценных бумаг и деривативов, согласуя цены с принципом «отсутствия арбитража». В этом документе рассмотрены основные концепции, применения и примеры моделей без арбитража на современных финансовых рынках.

Что такое арбитраж?

Арбитраж - это практика использования ценовых различий одного и того же финансового инструмента на разных рынках или в разных формах. Она включает одновременную покупку и продажу актива для извлечения прибыли из дисбаланса. Пример:

• Пример арбитража: предположим, акция стоит $100 на NYSE и $101 на LSE. Трейдер может купить акцию на NYSE и одновременно продать на LSE, получив безрисковую прибыль $1 на акцию.

Виды арбитража:

1. Пространственный арбитраж: торговля одним активом в разных локациях.
2. Временной арбитраж: использование ценовых различий во времени.
3. Статистический арбитраж: применение статистических методов для выявления и использования неэффективностей.
4. Треугольный арбитраж: валютная торговля с использованием расхождений в курсах трех валют.

Зачем нужны модели без арбитража?

Модели без арбитража важны потому что они:

1. Обеспечивают целостность рынка: предотвращают потери, которые могут возникнуть из-за арбитражных возможностей.
2. Содействуют справедливому ценообразованию: согласуют цены инструментов с их теоретически справедливыми значениями.
3. Поддерживают стабильность рынка: снижают волатильность и системный риск, поддерживая баланс спроса и предложения.

Фундаментальная теорема ценообразования активов

Фундаментальная теорема ценообразования активов лежит в основе моделей без арбитража. Она устанавливает связь между существованием арбитражных возможностей и понятием риск-нейтральной меры. Формально теорема утверждает:

• Отсутствие арбитража: рынок без арбитража существует тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна риск-нейтральная мера.
• Полный рынок: если рынок полный (любое условное требование можно реплицировать), риск-нейтральная мера единственна.

Ключевые модели без арбитража

Ниже рассмотрены наиболее влиятельные модели, соответствующие условию отсутствия арбитража.

Модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза, разработанная Фишером Блэком, Майроном Шоулзом и Робертом Мертоном, в первую очередь применяется для оценки европейских опционов. Эта модель предполагает постоянную волатильность и ставку, предоставляя аналитическое решение для цены опциона.

• Формула Блэка-Шоулза: [ C(S, t) = S N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2) ] где: [ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} ] [ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} ]

Фреймворк Heath-Jarrow-Morton (HJM)

Фреймворк HJM описывает эволюцию процентных ставок в соответствии с рынком без арбитража. Он фокусируется на моделировании всей кривой доходности, что особенно полезно для процентных деривативов. Модель не задает однофакторную форму, а предоставляет общую структуру для многофакторных моделей.

Модель Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

Модель CIR широко используется для моделирования процентных ставок. Она описывает динамику ставок с помощью среднего обратимого стохастического процесса и обеспечивает неотрицательность ставок.

• Динамика CIR: [ dr_t = \kappa(\theta - r_t)dt + \sigma \sqrt{r_t}dW_t ] где ( r_t ) - ставка в момент времени ( t ), ( \kappa ) - скорость возврата к среднему, ( \theta ) - долгосрочное среднее, ( \sigma ) - волатильность.

Модель Hull-White

Модель Hull-White расширяет модель Васичека, позволяя параметрам зависеть от времени, что улучшает соответствие наблюдаемым данным. Она моделирует краткосрочные ставки и может учитывать наблюдаемую структуру процентных ставок.

• Динамика Hull-White: [ dr_t = (\theta(t) - \alpha r_t)dt + \sigma dW_t ]

Модель локальной волатильности

Модель локальной волатильности, предложенная Бруно Дюпиром, является расширением модели Блэка-Шоулза. Она позволяет волатильности зависеть от цены актива и времени, обеспечивая более точное описание рынка, особенно для экзотических опционов.

• Уравнение Дюпира: [ \frac{\partial C}{\partial T} + \frac{1}{2} \sigma^2(K, T) K^2 \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} = 0 ] где ( C ) - цена колл-опциона, ( K ) - цена исполнения, ( T ) - время до погашения.

Арбитражно-нейтральная модель SABR

Модель Stochastic Alpha Beta Rho (SABR), расширенная до арбитражно-нейтральной, описывает динамику форвардных ставок и их волатильностей. Арбитражно-нейтральное расширение обеспечивает согласованность цен с рыночными данными и отсутствие арбитражных возможностей.

Модель рынка LIBOR (LMM)

LMM, также известная как модель Brace-Gatarek-Musiela (BGM), предназначена для оценки процентных деривативов. Она моделирует динамику ставок LIBOR напрямую, обеспечивая согласованность с условием отсутствия арбитража.

Применение моделей без арбитража

Модели без арбитража используются в разных областях финансов, включая:

1. Оценку опционов: обеспечение корректного ценообразования опционов, предотвращающего арбитраж.
2. Процентные деривативы: моделирование структуры ставок для таких продуктов, как свопы и cap/floor.
3. Управление рисками: выявление и снижение арбитражных рисков в торговых портфелях.
4. Оптимизацию портфеля: улучшение доходности за счет соответствия цен теоретическим значениям и устранения арбитражных искажений.

Проблемы и критика

Несмотря на важность, модели без арбитража сталкиваются с рядом трудностей:

1. Предпосылки моделей: многие модели требуют предположений вроде постоянной волатильности, что не всегда выполняется.
2. Калибровка: точная калибровка по рыночным данным критична, но часто сложна, особенно на волатильных или неликвидных рынках.
3. Сложность: некоторые модели без арбитража, особенно многофакторные, могут быть математически сложными и вычислительно затратными.

Заключение

Модели без арбитража играют ключевую роль в современном финансовом мире, обеспечивая надежную основу для ценообразования и управления рисками. Обеспечивая отсутствие арбитражных возможностей, эти модели способствуют эффективности и справедливости рынков. По мере развития рынков разработка и совершенствование таких моделей остаются активной областью исследований и инноваций.

Ссылки

Для дальнейшего изучения моделей без арбитража можно ознакомиться с материалами:

• Nobel Prize in Economics 1997 - Black-Scholes-Merton
• Hull & White model