Авторегрессионная интегрированная скользящая средняя (ARIMA)

Модель Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) — мощный статистический инструмент для прогнозирования временных рядов. Она предназначена для выявления и использования закономерностей в данных, что особенно полезно в алгоритмической торговле, где точные прогнозы цен могут приводить к прибыльным стратегиям. Модели ARIMA могут учитывать различные свойства рядов, включая тренды и сезонность, что делает их универсальным выбором для трейдеров и специалистов по данным.

Компоненты ARIMA

Модели ARIMA состоят из трех основных компонентов:

  1. Авторегрессионный (AR): использует прошлые значения ряда для моделирования текущего значения. Число лагов задается параметром p.
  2. Интегрированный (I): отражает дифференцирование, применяемое для достижения стационарности ряда. Количество дифференцирований задается параметром d.
  3. Скользящее среднее (MA): использует прошлые ошибки прогнозирования для оценки будущих значений. Число лагов ошибок задается параметром q.

Авторегрессионный компонент (AR)

Авторегрессионная часть ARIMA — это регрессия временного ряда на его собственные значения. Предполагается, что текущее значение можно объяснить линейной комбинацией предыдущих. Математически:

[ Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} +… + \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t ]

Где:

Интегрированный компонент (I)

Интегрированная часть ARIMA включает дифференцирование ряда для достижения стационарности. Стационарность означает неизменность статистических свойств (например, среднего и дисперсии) во времени. Нестационарные ряды могут иметь тренды, сезонность и другие структуры, которые нужно удалить. Процесс дифференцирования:

[ Y’t = Y_t - Y{t-1} ]

Для первого порядка дифференцирования это можно записать как:

[ Y’‘t = Y’_t - Y’{t-1} ]

Где:

Параметр d показывает, сколько раз применяется дифференцирование.

Компонент скользящей средней (MA)

Компонент MA использует прошлые ошибки прогноза для оценки будущих значений. Он учитывает необъясненную часть ряда, добавляя ошибки прошлых периодов. Математически:

[ Y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} +… + \theta_q \epsilon_{t-q} ]

Где:

Идентификация модели

Прежде чем построить ARIMA-модель, важно определить параметры p, d и q. Процесс включает несколько шагов:

  1. Дифференцирование для стационарности: построить график ряда и дифференцировать его, пока он не станет стационарным. Число дифференцирований определяет d.
  2. ACF и PACF: анализ графиков автокорреляции (ACF) и частичной автокорреляции (PACF) для определения потенциальных значений p и q.
    • ACF показывает корреляцию между рядом и его прошлыми значениями.
    • PACF показывает частичную корреляцию после исключения влияния более ранних лагов.

Интерпретация ACF и PACF

Построение ARIMA-модели

После определения p, d и q модель подгоняется к данным временного ряда. Это включает оценку коэффициентов и проверку модели через диагностику остатков.

Оценка параметров

Параметры ARIMA обычно оцениваются методом максимального правдоподобия (MLE), который находит значения параметров, максимизирующие правдоподобие наблюдаемых данных.

Диагностика модели

После подгонки важно убедиться, что остатки (разницы между наблюдаемыми и рассчитанными значениями) похожи на белый шум. Это означает, что модель захватила все закономерности.

Валидация и прогнозирование

Когда диагностика подтверждает хорошее качество, модель можно использовать для прогнозов. Важно оценивать качество на данных вне выборки.

Метрики точности прогноза

Часто используемые метрики:

Прогнозирование

ARIMA строит прогноз, экстраполируя ряд на будущее с использованием подогнанных параметров и прошлых значений. Процесс включает:

  1. Расчет прогнозных значений по уравнениям ARIMA.
  2. Построение доверительных интервалов, отражающих неопределенность.

Сезонная ARIMA (SARIMA)

Для рядов с сезонностью используется Seasonal ARIMA (SARIMA), расширяющая базовую ARIMA добавлением сезонных авторегрессионных и MA-компонентов. Модель обозначается так:

[ SARIMA(p, d, q) \times (P, D, Q)_s ]

Где:

Сезонное дифференцирование

Сезонное дифференцирование — это вычитание значения из той же сезонной точки предыдущего периода. Например, сезонное дифференцирование первого порядка:

[ Y’t = Y_t - Y{t-s} ]

Где ( s ) — сезонный период.

Идентификация SARIMA

Идентификация SARIMA включает анализ сезонных лагов на графиках ACF и PACF и применение тех же принципов, что и для несезонных ARIMA.

ARIMA в алгоритмической торговле

В алгоритмической торговле ARIMA-модели используются для прогнозирования цен активов, волатильности и других финансовых метрик. Точные прогнозы позволяют строить стратегии, использующие предполагаемые движения рынка.

Практические соображения

Пример использования

Трейдер может использовать ARIMA для прогнозирования цен закрытия акции. Подогнав модель на исторических данных, он получает прогнозы и строит стратегию. Например, если прогноз показывает восходящий тренд, трейдер может открыть длинную позицию, а при нисходящем тренде — короткую.

ПО и инструменты для ARIMA

Несколько программных инструментов и библиотек облегчают реализацию ARIMA:

Python

R

MATLAB

Заключение

Модель ARIMA — универсальный и мощный инструмент для прогнозирования временных рядов с широкими применениями в алгоритмической торговле. Захватывая закономерности в исторических данных, ARIMA помогает трейдерам принимать более обоснованные решения и повышать прибыльность. Корректная идентификация, валидация и применение модели необходимы, чтобы раскрыть ее потенциал в прогнозировании будущих движений рынка.