Биномиальная модель ценообразования опционов

Модель ценообразования биномиальных опционов — это мощный и универсальный инструмент, используемый для оценки опционов, особенно американских опционов, которые можно исполнить в любой момент до даты истечения срока действия. Эта модель, разработанная в 1979 году Джоном Коксом, Стивеном Россом и Марком Рубинштейном, представляет собой систематический метод определения справедливой стоимости опциона путем моделирования различных путей, по которым цена базового актива может меняться с течением времени.

Фундаментальные понятия

Опционы

Опционы — это производные финансовые инструменты, которые дают держателю право, но не обязанность купить или продать актив по заранее определенной цене до или в определенную дату. Два основных типа опционов:

Опционы колл: предоставляют право на покупку базового актива.
Пут-опционы: предоставляют право продать базовый актив.

Американские и европейские опционы

Американские опционы: Могут быть исполнены в любое время до даты истечения срока действия.
Европейские опционы: Могут быть исполнены только на дату истечения срока действия.

Биномиальное дерево

Биномиальная модель ценообразования опционов использует модель дискретного времени изменяющейся цены базового актива. Он создает биномиальное дерево, представляющее различные возможные пути изменения цены актива в течение срока действия опциона. Каждый узел в дереве представляет возможную цену базового актива в определенный момент времени, и эти узлы соединены ветвями, представляющими возможные движения цены вверх или вниз.

Шаги модели ценообразования биномиальных опционов

Модель реализуется посредством пошагового процесса:

1. Настройка параметров

Начальная цена актива (S₀): Текущая цена базового актива.
Цена исполнения (K): Цена, по которой опцион может быть исполнен.
Время до истечения срока действия (T): Продолжительность в годах до истечения срока действия опциона.
Количество временных шагов (N): На сколько шагов (интервалов) делится время до истечения срока действия.
Волатильность (σ): Стандартное отклонение доходности базового актива.
Безрисковая ставка (r): Непрерывная сложная безрисковая процентная ставка.

2. Расчет размера шага

Временной шаг (( \Delta t )) рассчитывается как:

[ \Delta t = \frac{T}{N} ]

3. Расчет повышающих и понижающих коэффициентов

Коэффициент повышения (u) и коэффициент понижения (d) представляют собой размер движения цены вверх и вниз за один временной шаг. Они рассчитываются с использованием волатильности актива (( \sigma )) и временного шага (( \Delta t )):

[ u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}} ] [ d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} ]

4. Расчет нейтральных к риску вероятностей

Нейтральные к риску вероятности (p и q) обозначают вероятности движений вверх и вниз в нейтральном к риску мире. Они рассчитываются с использованием коэффициента повышения (u), коэффициента понижения (d) и безрисковой ставки (r):

[ p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d} ] [ q = 1 - p ]

5. Построение биномиального дерева

Начиная с начальной цены (S₀), дерево строится по формуле умножая цену в каждом узле на коэффициент повышения (u) и коэффициент снижения (d).

6. Расчет стоимости опциона в конечных узлах

По истечении срока действия (конечные узлы дерева) рассчитывается внутренняя стоимость опциона:

Вызов опциона: ( \max(S_T - K, 0) )
Опцион пут: ( \max(K - S_T, 0) )

7. Дисконтирование обратно к приведенной стоимости

Затем значения опционов дисконтируются обратно по дереву до приведенной стоимости с использованием нейтральных к риску вероятностей (p и q) и безрисковой ставки (r). Значение в каждом узле рассчитывается как:

[ V = e^{-r\Delta t} (p V_u + q V_d) ]

где ( V_u ) и ( V_d ) — значения опций в восходящем и нисходящем узлах следующего временного шага соответственно.

8. Корректировка на раннее исполнение (для американских опционов)

Для американских опционов возможность досрочного исполнения проверяется на каждом узле путем сравнения дисконтированной стоимости опциона с внутренней стоимостью. Если раннее исполнение дает более высокую ценность, оно принимается.

Пример расчета

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как модель ценообразования биномиальных опционов будет работать на практике:

Параметры

Начальная цена актива (S₀): 100 долларов США
Цена исполнения (K): 100 долларов США
Время до истечения срока действия (T): 1 год
Количество шагов (N): 3
Волатильность (σ): 30 % (0,30)
Безрисковая ставка (r): 5 % (0,05)

Шаг 1. Вычислите временной шаг

[ \Delta t = \frac{1}{3} = 0,3333 \text{ годы} ]

Шаг 2. Вычислите повышающие и понижающие коэффициенты

[ u = e^{0,30 \sqrt{0,3333}} = 1,1832 ] [ d = e^{-0,30 \sqrt{0,3333}} = 0,8453 ]

Шаг 3. Вычисление нейтральных к риску вероятностей

[ p = \frac{e^{0.05 \cdot 0,3333} - 0,8453}{1,1832 - 0,8453} = 0,5223 ] [ q = 1 - 0,5223 = 0,4777 ]

Шаг 4. Построение биномиального дерева

Цены узлов

( S(0,0) = 100 )
( S(1,1) = 100 \cdot 1.1832 = 118.32 )
( S(1,0) = 100 \cdot 0.8453 = 84.53 )
( S(2,2) = 118.32 \cdot 1.1832 = 140.03 )
( S(2,1) = 100 \cdot 1.1832 \cdot 0.8453 = 100 )
( S(2,0) = 84.53 \cdot 0.8453 = 71.45 )
( S(3,3) = 140.03 \cdot 1.1832 = 165.79 )
( S(3,2) = 100 \cdot (1.1832)^2 \cdot (0.8453) = 118.32 )
( S(3,1) = 100 \cdot 1.1832 \cdot (0.8453)^2 = 84.53 )
( S(3,0) = 71.45 \cdot 0.8453 = 60.37 )

Значения опций на конечных узлах

Для опции вызова: ( \max(S_T - K, 0) )
( V(3,3) = \max(165.79 - 100, 0) = 65.79 )
( V(3,2) = \max(118.32 - 100, 0) = 18.32 )
( V(3,1) = \max(84.53 - 100, 0) = 0 )
( V(3,0) = \max(60.37 - 100, 0) = 0 )

Шаг 5: Скидка обратно к текущему значению

Для узла ( (2,2) ): [ V(2,2) = e^{-0.05 \cdot 0.3333} (0.5223 \cdot 65.79 + 0.4777 \cdot 18.32) = 42.41 ]
Для узла ( (2,1) ): [ V(2,1) = e^{-0.05 \cdot 0.3333} (0.5223 \cdot 18.32 + 0.4777 \cdot 0) = 9.23 ]
Для узла ( (2,0) ): [ V(2,0) = e^{-0.05 \cdot 0.3333} (0.5223 \cdot 0 + 0.4777 \cdot 0) = 0 ]

Продолжайте дисконтировать обратно до сегодняшнего значения для узлов (1,1), (1,0) и, наконец, (0,0).

Шаг 6: Корректировка на раннее исполнение

Для американских опционов вы проверяете каждый узел, чтобы увидеть, является ли раннее исполнение выгодным. Если да, то значение в узле корректируется, чтобы отразить эту возможность.

Окончательная цена опциона

После дисконтирования всех временных шагов и учета возможного раннего исполнения рассчитанное значение в начальном узле ( (0,0) ) даст цену опциона.

Преимущества биномиальной модели

Гибкость: Можно оценить американские опционы, допускающие досрочное исполнение.
Точность: Обеспечивает более точную оценку за счет рассмотрения различных путей и сценариев.
Простота. Легче реализовать по сравнению с другими сложными моделями, такими как моделирование Монте-Карло.

Ограничения

Интенсивность вычислений. Большое количество временных шагов может привести к большим вычислительным затратам.
Предположение о постоянной волатильности. Реальная волатильность может меняться со временем.

Практическое применение

Модель ценообразования биномиальных опционов широко используется в финансовых учреждениях для ценообразования и управления продуктами, связанными с опционами. Гибкость и адаптивность делают ее жизненно важным инструментом в следующих областях:

Управление рисками: Банки и финансовые учреждения используют эту модель для хеджирования рисков, связанных с опционами и другими производными инструментами.
Опционы на акции для сотрудников: Компании используют эту модель для оценки опционов на акции для сотрудников для целей финансовой отчетности.
Корпоративные финансы: используется для оценки встроенных опционов в корпоративный долг и другие ценные бумаги.

Примеры компаний, использующих биномиальную модель

Goldman Sachs: Goldman Sachs использует передовые финансовые модели, включая биномиальные модели, для ценообразования активов и управления рисками.
Morgan Stanley: Morgan Stanley использует биномиальную модель ценообразования опционов для оценки цен опционов и производных финансовых инструментов.

Биномиальная модель ценообразования опционов остается краеугольным камнем количественного финансирования, предлагая надежный метод оценки опционов, который сочетает в себе вычислительную осуществимость и точность ценообразования.