Эмпирическое правило

Эмпирическое правило, также известное как правило 68-95-99,7 или правило трех сигм, представляет собой статистический принцип, который гласит, что для нормального распределения:

Это правило важно в статистике и различных областях, включая финансы, психологию, контроль качества и естественные науки, из-за его полезности для понимания распределения данных и формирования выводов о параметрах населения на основе выборочных данных.

Определение

Эмпирическое правило относится к нормальному распределению, типу непрерывного распределения вероятностей для вещественной случайной величины. Нормальные распределения симметричны и имеют колоколообразную форму, сосредоточены вокруг среднего значения, а его разброс определяется стандартным отклонением. Эмпирическое правило обеспечивает быструю оценку вероятности попадания случайной величины в определенные интервалы вокруг среднего значения.

Формула

Для нормального распределения со средним значением μ и стандартным отклонением σ эмпирическое правило можно резюмировать следующим образом:

Математически это можно представить как:

[ P(\mu - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0,68 ]

[ P(\mu - 2σ \leq X \leq μ + 2σ) \approx 0,95 ]

[ P(\mu - 3σ \leq X \leq μ + 3σ) \approx 0,997 ]

Где ( X ) представляет собой значение нормально распределенной переменной.

Пример

Рассмотрим набор данных оценок учащихся по математике, которые обычно распределяются со средним значением (μ) 70 и стандартным отклонением (σ) 10. Используя эмпирическое правило:

— Около 68% учащихся набрали от 60 (70–10) до 80 (70+10). - Около 95% студентов набрали от 50 (70-20) до 90 (70+20). - Около 99,7% студентов набрали от 40 (70-30) до 100 (70+30).

Как оно используется

В финансах

В финансах эмпирическое правило используется для оценки риска и доходности инвестиций. Менеджеры портфелей используют это правило для оценки процента доходности, который, как можно ожидать, попадет в определенные диапазоны. Например, если доходность портфеля нормально распределена и средняя доходность составляет 5% со стандартным отклонением 10%, эмпирическое правило может помочь оценить вероятность попадания доходности в определенные диапазоны.

Контроль качества

Контроль качества в производственных процессах часто использует эмпирическое правило. Контрольные карты используют его для мониторинга производительности процесса. Если процесс находится под контролем и в норме, большая часть результатов будет находиться в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения. Значительное отклонение указывает на потенциальную проблему, требующую исследования.

В сфере образования

Психологи-педагоги используют эмпирическое правило для интерпретации результатов стандартизированных тестов. Эти баллы обычно распределяются нормально, поэтому это правило помогает определить долю учащихся, попадающих в определенные категории успеваемости.

В здравоохранении

Медицинские работники применяют эмпирические правила эпидемиологии и общественного здравоохранения для изучения распространения заболеваний и оценки медицинских вмешательств. Например, это правило может помочь понять распределение реакций пациентов на лечение.

Статистические выводы

Наконец, эмпирическое правило помогает делать статистические выводы о популяциях на основе выборочных данных. Понимая распространение выборочных данных вокруг среднего значения, можно делать прогнозы и принимать решения, используя статистические выводы.

Заключение

Эмпирическое правило — это фундаментальный принцип статистики, необходимый для анализа нормально распределенных данных. Он обеспечивает основу для понимания изменчивости данных и принятия обоснованных решений в различных областях. Применяя эмпирическое правило, профессионалы могут оценивать пропорции, оценивать риски и выявлять аномалии, что делает его важнейшим инструментом в средах, управляемых данными.