Гауссовское распределение

Гауссовское распределение, также известное как нормальное распределение, является одним из важнейших распределений вероятностей в статистике и широко используется в различных областях, включая финансы и алгоритмическую торговлю. Названное в честь Карла Фридриха Гаусса, оно имеет форму колоколообразной кривой и характеризуется своим средним (μ) и стандартным отклонением (σ). В алгоритмической торговле понимание и применение гауссовского распределения может помочь в моделировании распределения доходности активов, управлении рисками и построении надёжных торговых алгоритмов.

Ключевые характеристики гауссовского распределения

Среднее (μ)

Среднее — это центральное значение, вокруг которого концентрируются точки данных. В контексте финансовых временных рядов это может представлять среднюю доходность акции или любого финансового инструмента.

Стандартное отклонение (σ)

Стандартное отклонение измеряет величину отклонения или дисперсии от среднего. Более высокое стандартное отклонение указывает на то, что точки данных распределены по более широкому диапазону значений, что часто подразумевает более высокий риск в финансовом контексте.

Функция плотности вероятности (PDF)

Функция плотности вероятности гауссовского распределения задаётся формулой:

Эта функция описывает вероятность различных исходов.

Кумулятивная функция распределения (CDF)

Кумулятивная функция распределения гауссовского распределения показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше или равное x. Это важная функция для определения вероятностей и квантилей.

Применение в алгоритмической торговле

Моделирование доходности активов

Многие стратегии алгоритмической торговли предполагают, что доходность финансовых инструментов следует гауссовскому распределению. Это предположение помогает упростить процесс моделирования и делать прогнозы о будущих ценах.

Управление рисками

Стоимость под риском (VaR) — широко используемый инструмент управления рисками в финансах, часто вычисляемый в предположении нормальности доходностей. Гауссовское распределение помогает оценить потенциальные потери стоимости портфеля за определённый период для заданного доверительного интервала.

Статистический арбитраж

Статистический арбитраж включает поиск ценовых неэффективностей между связанными финансовыми инструментами. Гауссовское распределение используется для моделирования относительных ценовых движений и тенденций возврата к среднему, помогая выявлять прибыльные арбитражные возможности.

Симуляции Монте-Карло

Методы Монте-Карло основаны на многократной случайной выборке для оценки поведения системы. Гауссовское распределение часто используется для генерации случайных выборок, имитирующих ценовые движения финансовых инструментов во времени.

Оценка параметров и проверка гипотез

Понимание статистических свойств доходности активов, таких как оценка среднего и стандартного отклонения, во многом опирается на гауссовское распределение. Проверки гипотез, включая t-тесты и z-тесты, часто предполагают нормально распределённые данные.

Ограничения

Хотя гауссовское распределение является мощным инструментом, оно имеет свои ограничения. Рыночные доходности часто демонстрируют «толстые хвосты» или более высокий эксцесс, что означает, что экстремальные исходы более вероятны, чем предсказывает нормальное распределение. Это явление известно как «хвостовой риск».

Компании, использующие гауссовское распределение в алгоритмической торговле

1. QuantConnect: QuantConnect предлагает облачную платформу алгоритмической торговли и использует гауссовское распределение во многих своих алгоритмах бэктестинга.
2. Numerai: Numerai — хедж-фонд, использующий краудсорсинг для прогнозирования акций и применяющий гауссовские распределения в своих моделях машинного обучения для прогнозирования движений фондового рынка.

Заключение

Гауссовское распределение играет ключевую роль в области алгоритмической торговли, обеспечивая фундаментальную основу для моделирования, управления рисками и разработки стратегий. Хотя оно имеет свои ограничения, его широкая применимость и простота делают его незаменимым инструментом для трейдеров и квантов.