Гауссовские процессы

Гауссовские процессы (GP) — мощный статистический инструмент, который приобрёл значительную популярность в машинном обучении и науке о данных. Они предлагают гибкий, непараметрический подход к моделированию и прогнозированию данных. В контексте алгоритмической торговли GP могут быть особенно полезны для прогнозирования цен активов, поверхностей волатильности и других финансовых метрик, которые часто являются сложными и зашумлёнными. Этот документ углубляется в математические основы гауссовских процессов, их реализацию и применение в алгоритмической торговле.

Математические основы гауссовских процессов

Определение

Гауссовский процесс — это набор случайных величин, любое конечное число которых имеет совместное гауссовское распределение. По сути, GP определяет распределение над функциями и может использоваться для прогнозирования распределения неизвестной функции при заданных некоторых известных значениях.

Регрессия на гауссовских процессах

Суть регрессии на гауссовских процессах включает определение априорного распределения над функциями и его комбинирование с наблюдаемыми данными для формирования апостериорного распределения. Априорное распределение задаётся функцией среднего, ( \mu(x) ), обычно принимаемой равной нулю, и ковариационной функцией, ( k(x, x’) ), которая определяет схожесть между различными точками.

Ковариационные функции

Могут использоваться несколько ковариационных функций (также известных как ядра), каждая с различными свойствами:

• Квадратичное экспоненциальное (SE) ядро: ( k(x, x’) = \sigma^2 \exp\left(-\frac{(x - x’)^2}{2l^2}\right) )
• Рациональное квадратичное ядро: Сочетает характеристики как экспоненциальных, так и полиномиальных ядер.
• Периодическое ядро: Полезно для захвата периодического поведения в данных.

Вывод

Вывод в GP включает обусловливание априорного распределения на наблюдаемых данных для получения апостериорного распределения. Основные шаги:

1. Вычисление матрицы Грама с использованием ковариационной функции на входных данных.
2. Вычисление прогнозного среднего и ковариации GP для новых входов.
3. Добавление гауссовского шума для учёта ошибки наблюдения.

Оптимизация гиперпараметров

Производительность GP во многом зависит от выбора ядра и его гиперпараметров. Обычно эти параметры обучаются путём максимизации маргинального правдоподобия наблюдаемых данных.

Реализация гауссовских процессов

Многие библиотеки облегчают реализацию GP, включая:

• scikit-learn: Библиотека машинного обучения для Python с простым API.
• GPy: Библиотека гауссовских процессов от группы машинного обучения Шеффилда.
• GPflow: Библиотека GP, построенная на TensorFlow, с акцентом на масштабируемость и гибкость.

Ниже приведён пример реализации регрессии GP с использованием scikit-learn:

import numpy as np
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, ConstantKernel as C

# Определение ядра
kernel = C(1.0, (1e-3, 1e3)) * RBF(10, (1e-2, 1e2))

# Создание регрессора на гауссовских процессах
gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, n_restarts_optimizer=10)

# Подгонка к данным
X = np.array([1, 3, 5, 6, 8]).reshape(-1, 1)
y = np.array([3, 2, 6, 4, 7])

gp.fit(X, y)

# Прогнозирование
X_pred = np.array([2, 4, 7]).reshape(-1, 1)
y_pred, sigma = gp.predict(X_pred, return_std=True)

print(y_pred)

Применение в алгоритмической торговле

Прогнозирование цен

Гауссовские процессы могут использоваться для прогнозирования будущих цен активов. Гибкость GP делает их идеальными для захвата нелинейной и нестационарной природы финансовых временных рядов.

Моделирование волатильности

Волатильность — критический аспект ценообразования опционов и управления рисками. GP могут моделировать поверхность волатильности для предоставления точных прогнозов, помогая в лучших стратегиях хеджирования и ценообразовании опционов.

Управление рисками

В управлении рисками GP могут моделировать хвостовые риски и экстремальные события, прогнозируя распределение доходностей. Этот подход помогает создавать портфели, устойчивые к рыночным крахам.

Анализ настроений

GP могут использоваться в сочетании с обработкой естественного языка для измерения рыночных настроений из новостных статей, социальных сетей и других текстовых данных. Эти настроения могут быть включены в торговые алгоритмы для улучшения точности прогнозирования.

Проблемы и ограничения

Несмотря на свои мощные возможности, гауссовские процессы имеют некоторые ограничения:

• Вычислительная затратность: Вычисление матрицы Грама и её обращение масштабируется кубически с числом точек данных, что делает GP менее подходящими для больших наборов данных.
• Выбор ядра: Выбор правильного ядра и оптимизация его гиперпараметров могут быть сложными и могут требовать специфических знаний предметной области.

Продвинутые техники

Разреженные гауссовские процессы

Разреженные GP решают вычислительные проблемы, используя подмножество точек данных для аппроксимации полного GP, снижая вычислительную сложность.

Глубокие гауссовские процессы

Комбинирование GP с глубоким обучением, известное как глубокие гауссовские процессы, позволяет захватывать более сложные структуры в данных, расширяя их применение к высоко нелинейным задачам.

Многозадачные гауссовские процессы

Эти модели расширяют GP для одновременной обработки нескольких связанных задач, разделяя информацию между задачами для улучшения точности прогнозирования.

Заключение

Гауссовские процессы предлагают высокогибкую и мощную структуру для моделирования и прогнозирования финансовых временных рядов в алгоритмической торговле. Хотя они сопряжены с вычислительными трудностями и требуют тщательной настройки, их способность предоставлять вероятностные прогнозы делает их бесценными для различных финансовых приложений — от прогнозирования цен до управления рисками.

Для получения дополнительной информации о компаниях и дальнейшего чтения:

• scikit-learn
• GPy
• GPflow