Обобщённые линейные модели

Введение

Обобщённая линейная модель (GLM) — это гибкое обобщение обычной линейной регрессии, которое допускает, что переменная отклика может иметь ненормальное распределение. GLM состоит из трёх компонентов:

1. Случайный компонент: Определяет распределение переменной отклика (например, нормальное, биномиальное, Пуассоновское).
2. Систематический компонент: Определяет линейный предиктор, который представляет собой линейную комбинацию неизвестных параметров и известных ковариат.
3. Функция связи: Устанавливает связь между математическим ожиданием распределения переменной отклика и линейным предиктором.

В контексте алгоритмической торговли GLM могут применяться для моделирования и прогнозирования данных финансовых временных рядов, оценки риска торговых стратегий и оптимизации распределения портфеля. В этой статье будет рассмотрена теория GLM, их применение в алгоритмической торговле и приведены практические примеры.

Компоненты GLM

Случайный компонент

Случайный компонент GLM определяет условное распределение переменной отклика Y. Распространённые распределения, используемые в GLM, включают:

• Нормальное распределение для непрерывных переменных отклика.
• Биномиальное распределение для бинарных переменных исхода.
• Распределение Пуассона для счётных данных.

Систематический компонент

Систематический компонент GLM определяет линейный предиктор η. Он имеет следующую форму:

η = β₀ + Σᵢ₌₁ᵖ βᵢXᵢ

Здесь β₀ — свободный член, βᵢ — коэффициенты, а Xᵢ — ковариаты.

Функция связи

Функция связи g(·) преобразует математическое ожидание массива переменной отклика μ в линейный предиктор η:

g(μ) = η

В зависимости от распределения переменной отклика используются различные функции связи. Например:

• Тождественная связь для нормального распределения: g(μ) = μ
• Логит-связь для биномиального распределения: g(μ) = log(μ/(1-μ))
• Логарифмическая связь для распределения Пуассона: g(μ) = log(μ)

Применение в алгоритмической торговле

Прогнозирование движения цен

GLM могут использоваться для прогнозирования будущего движения цен финансовых инструментов путём включения различных рыночных факторов и индикаторов в качестве ковариат. Например, можно использовать логистическую регрессию (тип GLM) для прогнозирования направления цены актива (вверх или вниз) на основе прошлых ценовых данных, объёма и других рыночных индикаторов.

Оценка риска

Моделируя взаимосвязь между различными финансовыми переменными, GLM могут использоваться для оценки риска, связанного с определёнными торговыми стратегиями или портфелями. Например, модель регрессии Пуассона может использоваться для моделирования частоты экстремальных убытков (просадок) в торговой стратегии, позволяя трейдерам лучше понять профиль риска и доходности.

Оптимизация портфеля

В оптимизации портфеля GLM могут помочь в моделировании ожидаемой доходности и рисков различных активов, что критически важно для построения оптимального портфеля. Используя GLM для учёта ненормальности в доходностях активов, можно разработать более надёжные и точные модели оптимизации.

Практические примеры

Пример 1: Логистическая регрессия для прогнозирования направления цены акции

Рассмотрим сценарий, когда трейдер хочет предсказать, пойдёт ли цена акции вверх или вниз на основе исторических ценовых данных и технических индикаторов (например, скользящих средних, индекса относительной силы (RSI)). Модель логистической регрессии может быть настроена следующим образом:

1. Подготовка данных: Соберите исторические данные о ценах и вычислите технические индикаторы.
2. Определение переменной отклика: Пусть переменная отклика Y равна 1, если цена идёт вверх, и 0, если вниз.
3. Подгонка модели логистической регрессии: ```python import pandas as pd import statsmodels.api as sm

Предположим, df — это DataFrame с историческими ценовыми данными и техническими индикаторами

X = df[[‘moving_average’, ‘RSI’]] # Ковариаты y = df[‘price_direction’] # Переменная отклика

Добавить константу в модель (свободный член)

X = sm.add_constant(X)

Подгонка логистической регрессии

model = sm.Logit(y, X) result = model.fit()

Вывод результатов

print(result.summary())

### Пример 2: Регрессия Пуассона для моделирования частоты сделок

Торговая фирма может захотеть смоделировать частоту сделок, выполняемых за определённый период, для оптимизации своей стратегии исполнения. Модель регрессии Пуассона может быть настроена следующим образом:

1. **Подготовка данных**: Соберите исторические данные о количестве сделок за период и потенциальных предикторах (например, рыночная волатильность, объём торгов).
2. **Определение переменной отклика**: Пусть переменная отклика Y — это количество сделок.
3. **Подгонка модели регрессии Пуассона**:
```python
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Предположим, df — это DataFrame с историческими данными о количестве сделок и предикторах
X = df[['market_volatility', 'trading_volume']]  # Ковариаты
y = df['trade_count']  # Переменная отклика

# Добавить константу в модель (свободный член)
X = sm.add_constant(X)

# Подгонка регрессии Пуассона
model = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Poisson())
result = model.fit()

# Вывод результатов
print(result.summary())

Заключение

Обобщённые линейные модели — это мощные инструменты, которые могут применяться к различным задачам в алгоритмической торговле. Они предлагают гибкость в моделировании различных типов переменных отклика и могут включать широкий спектр ковариат. Используя GLM, трейдеры и количественные аналитики могут строить более точные прогнозные модели, оценивать риски и оптимизировать свои торговые стратегии и портфели.

Для дальнейшего изучения или практического применения можно исследовать различные ресурсы, библиотеки и платформы, такие как QuantConnect, Alpaca и другие, которые предоставляют инструменты и среды для количественной и алгоритмической торговли.