Геометрическое броуновское движение

Геометрическое броуновское движение (ГБД) — это непрерывный по времени стохастический процесс, в котором логарифм случайно изменяющейся величины следует броуновскому движению (также известному как винеровский процесс) с дрейфом. ГБД широко используется в финансовой математике и экономике для моделирования цен акций и других финансовых инструментов. Математическая формулировка ГБД имеет решающее значение в теории ценообразования опционов и является краеугольным камнем знаменитой модели Блэка-Шоулза. В этом подробном обзоре мы рассмотрим свойства, формулировку, применения и ограничения ГБД, а также соответствующие методы численного моделирования.

Математическая формулировка

Геометрическое броуновское движение представлено следующим стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ):

[ dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t ]

где:

Уникальная характеристика ГБД заключается в том, что относительное изменение цены акции (( \frac{dS_t}{S_t} )) зависит только от текущей цены, что делает процесс одновременно марковским и логнормальным.

Решение СДУ

Для решения СДУ для ( S_t ) применяем лемму Ито, которая дает:

[ S_t = S_0 \exp\left( \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t \right) ]

где:

Это решение показывает, что ( S_t ), цена акции, имеет логнормальное распределение из-за экспоненты от нормально распределенной переменной.

Свойства геометрического броуновского движения

  1. Логнормальное распределение: Цены, моделируемые ГБД, имеют логнормальное распределение, что означает, что логарифмы цен нормально распределены.
  2. Неотрицательность: ГБД гарантирует, что цены остаются неотрицательными — критическое свойство для моделирования реальных финансовых инструментов.
  3. Марковское свойство: ГБД является марковским процессом, что означает, что предсказание будущей цены зависит только от текущей цены, а не от прошлых цен.
  4. Стационарность: Приращения процесса ГБД при соответствующей нормализации являются стационарными.

Применения геометрического броуновского движения

  1. Ценообразование опционов: ГБД широко используется в модели Блэка-Шоулза для вывода цен европейских опционов колл и пут.
    • Формула Блэка-Шоулза: Для расчета цены европейского опциона колл формула Блэка-Шоулза принимает вид: [ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ]

    где: [ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} ] [ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} ]

    • ( C ) — цена опциона колл.
    • ( K ) — цена исполнения.
    • ( T ) — время до экспирации.
    • ( r ) — безрисковая процентная ставка.
    • ( N(\cdot) ) — функция распределения стандартного нормального распределения.
  2. Моделирование цен акций: ГБД используется для моделирования будущих цен акций, что позволяет проводить оценку рисков и управление портфелем.
  3. Управление рисками: Моделируя будущее распределение цен активов, фирмы могут количественно оценить потенциальные риски и установить соответствующие резервы капитала.
  4. Симуляции Монте-Карло: ГБД используется для проведения симуляций Монте-Карло для оценки сложных производных продуктов и инвестиционных стратегий.

Численное моделирование геометрического броуновского движения

Схема дискретизации

Для численного моделирования ГБД необходимо дискретизировать непрерывный по времени процесс. Одна из распространенных схем дискретизации — метод Эйлера-Маруямы:

[ S_{t+\Delta t} = S_t \exp\left( \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} Z_t \right) ]

где ( Z_t ) — стандартная нормальная случайная величина.

Пример реализации

Вот пример на Python для моделирования ГБД:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры
S0 = 100  # начальная цена акции
mu = 0.05  # дрейф
sigma = 0.2  # волатильность
T = 1.0  # временной горизонт
N = 252  # количество временных шагов
dt = T / N  # временной шаг
t = np.linspace(0, T, N)
np.random.seed(42)  # для воспроизводимости

# Моделирование
S = np.zeros(N)
S[0] = S0
for i in range(1, N):
    Z = np.random.standard_normal()
    S[i] = S[i-1] * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * Z)

# Построение графика
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, S)
plt.title('Моделирование геометрического броуновского движения')
plt.xlabel('Время')
plt.ylabel('Цена акции')
plt.show()

Ограничения геометрического броуновского движения

  1. Постоянная волатильность: ГБД предполагает постоянную волатильность во времени, что нереалистично на реальных рынках, где волатильность может меняться.
  2. Логнормальное распределение: Реальные доходности акций могут иметь более тяжелые хвосты (толстые хвосты), чем логнормальное распределение, что приводит к недооценке экстремальных событий.
  3. Отсутствие возврата к среднему: ГБД не учитывает возврат к среднему — свойство, наблюдаемое у некоторых финансовых инструментов, где цены имеют тенденцию возвращаться к долгосрочному среднему.
  4. Отсутствие скачков: ГБД не моделирует внезапные крупные движения (скачки) цен акций, которые могут происходить из-за непредвиденных событий.

Расширения и альтернативы ГБД

  1. Модели стохастической волатильности: Такие модели, как модель Хестона, включают стохастическую волатильность для устранения ограничения постоянной волатильности.
  2. Модели скачкообразной диффузии: Модель Мертона включает скачки в дополнение к диффузионному процессу, позволяя учитывать внезапные изменения цен.
  3. Процессы возврата к среднему: Модели возврата к среднему, такие как процесс Орнштейна-Уленбека, используются для активов, демонстрирующих поведение возврата к среднему.
  4. Модели ARCH/GARCH: Эти модели позволяют волатильности меняться во времени на основе прошлого рыночного поведения.

В заключение, геометрическое броуновское движение — фундаментальная концепция в финансовой математике, обеспечивающая простую, но мощную основу для моделирования цен акций и других финансовых инструментов. Несмотря на свои ограничения, оно служит строительным блоком для более сложных моделей и остается широко используемым в академических кругах и индустрии для ценообразования опционов, управления рисками и финансового моделирования.