Среднее геометрическое

Среднее геометрическое — это статистическая мера, используемая для определения центральной тенденции или среднего значения набора чисел способом, особенно эффективным для данных мультипликативного или экспоненциального характера. В отличие от среднего арифметического, которое представляет собой просто сумму чисел, деленную на их количество, среднее геометрическое учитывает эффект сложных процентов значений во времени. Это делает его крайне актуальным для торговли, где доходность часто накапливается по сложному проценту за несколько периодов.

Математически среднее геометрическое набора из (n) чисел ({x_1, x_2, \ldots, x_n}) определяется как:

[ GM = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} ]

где (\prod) обозначает произведение чисел.

В торговле среднее геометрическое часто используется для расчета средней доходности инвестиций во времени. Если доходности за (n) периодов составляют (R_1, R_2, \ldots, R_n), среднегеометрическая доходность (G) вычисляется по формуле:

[ G = \left( \prod_{i=1}^{n} (1 + R_i) \right)^{\frac{1}{n}} - 1 ]

Здесь каждое (R_i) представляет доходность в каждом периоде (i). Вычитание 1 корректирует среднее значение от фактора роста (1 + доходность) обратно к самой доходности.

Среднее геометрическое имеет ключевое значение в торговле по нескольким причинам:

  1. Эффекты сложного процента: Среднее геометрическое учитывает накопление доходности по сложному проценту, обеспечивая более точную меру средней производительности во времени по сравнению со средним арифметическим.
  2. Измерение производительности: Включая сложный процент, среднее геометрическое предлагает реалистичное представление инвестиционных доходов, особенно на волатильных рынках.
  3. Оценка рисков: Среднее геометрическое может использоваться в моделях оценки рисков для определения согласованности и надежности торговых стратегий.

Применение в управлении портфелем

Портфельные менеджеры часто используют среднее геометрическое для оценки эффективности инвестиционного портфеля. Например, если портфель имеет доходности 10%, -5% и 15% за три года, среднегеометрическая доходность рассчитывается следующим образом:

[ G = \left( (1 + 0.10) \cdot (1 - 0.05) \cdot (1 + 0.15) \right)^{\frac{1}{3}} - 1 ]

[ G = \left( 1.10 \cdot 0.95 \cdot 1.15 \right)^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 0.063 ]

Таким образом, среднегеометрическая доходность составляет приблизительно 6,3%.

Сравнение со средним арифметическим

Для выделения различий рассмотрим тот же ряд доходностей (10%, -5% и 15%).

Среднее арифметическое не учитывает уменьшение стоимости из-за отрицательной доходности (-5%), завышая среднее значение по сравнению со средним геометрическим.

Среднее геометрическое в управлении рисками

Стратегии управления рисками на торговых платформах также опираются на среднее геометрическое. Оценивая среднее геометрическое доходностей, трейдеры могут выявить периоды стабильной производительности и сравнить их с периодами волатильности. Это понимание критически важно для корректировки стратегий с целью снижения рисков и максимизации доходности.

Реальные примеры:

  1. Хедж-фонды: Такие хедж-фонды, как Bridgewater Associates и Renaissance Technologies, используют сложные алгоритмы, включающие расчеты среднего геометрического для оптимизации своих портфелей и стратегий.
  2. Количественные торговые фирмы: Такие фирмы, как Two Sigma и DE Shaw, используют среднее геометрическое в своих моделях оценки рисков для эффективного балансирования доходности и рисков.

Расчет среднего геометрического в алгоритмической торговле

Системы алгоритмической торговли используют среднее геометрическое для оценки эффективности торговых алгоритмов во времени. Это включает программный расчет среднего геометрического доходностей, обычно с использованием языков программирования, таких как Python или R.

Простой пример на Python для расчета среднего геометрического:

import numpy as np

returns = [0.10, -0.05, 0.15]

# Преобразование доходностей в факторы роста
growth_factors = [1 + r for r in returns]

# Расчет среднего геометрического
geometric_mean = np.prod(growth_factors)**(1/len(returns)) - 1

print(f"Среднегеометрическая доходность: {geometric_mean:.4f}")

Преимущества среднего геометрического в алгоритмической торговле

  1. Точность: Обеспечивает более точную меру средних доходностей для алгоритмов с переменной производительностью.
  2. Стабильность: Предлагает стабильную точку зрения для оценки эффективности стратегий алгоритмической торговли.
  3. Сравнительный анализ: Полезен для сравнения различных торговых алгоритмов с целью выявления наиболее стабильных исполнителей.

Подводя итог, среднее геометрическое является важным инструментом в области торговли. Его способность учитывать эффект сложного процента доходностей во времени делает его более точной и надежной мерой для оценки инвестиционной производительности. Будь то использование в управлении портфелем, оценке рисков или алгоритмической торговле, среднее геометрическое предоставляет критически важные insights, которые помогают трейдерам принимать обоснованные решения и оптимизировать свои торговые стратегии.