Модели процентных ставок

Модели процентных ставок — это математические модели, используемые для описания эволюции процентных ставок во времени. Эти модели имеют решающее значение в финансах для оценки процентных деривативов, управления рисками и управления портфелем. В данном документе представлен подробный обзор нескольких популярных моделей процентных ставок, их применения и теоретических основ.

Модель Васичека

Модель Васичека, представленная Олдржихом Вашичеком в 1977 году, является одной из первых стохастических моделей процентных ставок. Она описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ):

dr_t = a(b - r_t)dt + σdW_t

где:

Модель Васичека предполагает, что процентная ставка управляется одним фактором и демонстрирует возврат к среднему к долгосрочному среднему значению. Ключевой особенностью является то, что она может генерировать отрицательные процентные ставки, что может быть нереалистичным в некоторых рыночных условиях.

Модель Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR)

Модель Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), предложенная Джоном Коксом, Джонатаном Ингерсоллом и Стивеном Россом в 1985 году, разработана для устранения некоторых ограничений модели Васичека. Её СДУ имеет вид:

dr_t = a(b - r_t)dt + σ√r_t dW_t

Ключевым отличием здесь является член √r_t, который гарантирует, что процентные ставки остаются неотрицательными. Это особенно важно для обеспечения реалистичного моделирования поведения процентных ставок.

Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта является расширением модели Васичека, представленным Джоном Халлом и Аланом Уайтом. Она допускает зависящий от времени средний уровень θ(t):

dr_t = (θ(t) - ar_t)dt + σdW_t

Эта временная гибкость делает модель Халла-Уайта более адаптируемой к текущим рыночным условиям по сравнению с моделью Васичека.

Структура Хита-Джарроу-Мортона (HJM)

Структура Хита-Джарроу-Мортона (HJM), разработанная Дэвидом Хитом, Робертом Джарроу и Эндрю Мортоном, использует другой подход, моделируя всю кривую форвардных ставок, а не краткосрочную процентную ставку. Она описывается как:

df(t, T) = α(t, T)dt + σ(t, T)dW_t

где f(t, T) — форвардная ставка в момент времени t для момента T, а α(t, T) и σ(t, T) — функции дрифта и волатильности соответственно. Модель HJM очень общая и может учитывать широкий диапазон динамики для временной структуры процентных ставок.

Рыночные модели (LMM/RFR)

Рыночная модель LIBOR (LMM), также известная как модель Брейса-Гатарека-Мусиелы (BGM), расширяет структуру HJM специально для моделирования соглашений о форвардных ставках и процентных кэпов/флоров. После прекращения LIBOR в 2023 году отрасль перешла к рыночным моделям безрисковых ставок (RFR), которые применяют ту же структуру к ставкам, таким как SOFR (ставка обеспеченного овернайт-финансирования), SONIA и €STR. Модель описывает эволюцию форвардных ставок как:

dL_i(t) = L_i(t)(μ_i dt + Σ_j σ_ij dW_j(t))

где L_i(t) — форвардная ставка со сроком погашения i, а μ_i и σ_ij — члены дрифта и волатильности. Эта структура остаётся особенно популярной на практике благодаря её способности точно соответствовать наблюдаемым рыночным ценам процентных деривативов.

Применение в алгоритмической торговле

В контексте алгоритмической торговли модели процентных ставок играют ключевую роль в ценообразовании и хеджировании процентных деривативов, управлении рисками и генерации альфы. Алгоритмические трейдеры используют эти модели для прогнозирования движений процентных ставок и выявления торговых возможностей на рынках облигаций и деривативов.

Примеры компаний

Заключение

Модели процентных ставок являются незаменимыми инструментами в финансовой индустрии, обеспечивая необходимую основу для понимания и прогнозирования движений процентных ставок. От базовых моделей Васичека и CIR до продвинутых структур HJM и BGM — каждая модель предлагает уникальные особенности и применения. Будь то управление рисками, оценка деривативов или алгоритмическая торговля, владение этими моделями критически важно для финансовых специалистов.