Реализация алгоритма фильтра Калмана

Фильтр Калмана, названный в честь Рудольфа Э. Калмана, представляет собой алгоритм, который использует серию наблюдаемых во времени измерений, содержащих статистический шум и другие неточности, и создает оценки неизвестных переменных, которые обычно более точны, чем оценки на основе одного измерения. Он широко применяется в различных областях, таких как навигация, системы управления и обработка сигналов. В этом документе будут рассмотрены детали реализации фильтра Калмана в контексте алгоритмической торговли.

Введение

В алгоритмической торговле цель состоит в разработке различных моделей для прогнозирования ценовых движений или других рыночных переменных. Эти модели могут значительно выиграть от использования фильтра Калмана благодаря его способности оценивать состояние процесса способом, минимизирующим среднеквадратичную ошибку. Этот раздел охватывает основы фильтра Калмана, включая его математические основы, прежде чем перейти к его конкретному применению в торговых алгоритмах.

Основы фильтра Калмана

Математическая база

Алгоритм фильтра Калмана работает в двухфазном процессе: фазы прогноза и обновления. Два ключевых уравнения в этих фазах:

Прогноз: [ \hat{x}{k|k-1} = F_k \hat{x}{k-1|k-1} + B_k u_k ] [ P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k ]
Обновление: [ K_k = P_{k|k-1} H_k^T (H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k)^{-1} ] [ \hat{x}{k|k} = \hat{x}{k|k-1} + K_k (z_k - H_k \hat{x}{k|k-1}) ] [ P{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1} ]

Где:

( \hat{x}_{k

k-1} ) — прогнозируемая оценка состояния на временном шаге ( k ) на основе состояния на шаге ( k-1 ).

( \hat{x}_{k k} ) — обновленная оценка состояния после учета измерения.

( P_{k

k-1} ) и ( P_{k

k} ) — прогнозируемая и обновленная матрицы ковариации состояния соответственно.

( K_k ) — матрица коэффициента усиления Калмана.
( F_k ) — модель перехода состояния.
( B_k ) — модель управляющего воздействия.
( u_k ) — вектор управления.
( Q_k ) — ковариация шума процесса.
( z_k ) — измерение на временном шаге ( k ).
( H_k ) — модель наблюдения.
( R_k ) — ковариация шума измерения.

Допущения

Перед применением фильтра Калмана должны быть выполнены определенные допущения:

Система должна быть описана в линейных терминах, или фильтр Калмана должен быть адаптирован (расширенный фильтр Калмана) для нелинейных систем.
Шум как процесса, так и измерения должен быть гауссовским и белым, то есть иметь нулевое математическое ожидание.

Применение фильтра Калмана в алгоритмической торговле

Прогнозирование цен акций

Акции колеблются способами, которые можно описать несколько линейной зависимостью, подверженной влиянию множества факторов. Моделируя цены акций как стохастический процесс, фильтр Калмана может оценить базовый ценовой сигнал, “скрытый” под шумом частых колебаний. Вот пошаговое руководство по реализации фильтра Калмана для прогнозирования цены отдельной акции.

Шаг 1: Определение переменных

Сначала определите переменные состояния для фильтра, которыми в данном случае могут быть сама цена и член “скорости”, представляющий темп изменения цены.

import numpy as np

# Начальное состояние (например, начальная цена и скорость)
x_initial = np.array([price, velocity])

Шаг 2: Определение матрицы перехода состояния

Следующий шаг — определить матрицу перехода состояния (( F_k )), матрицу управления (( B_k )) и матрицу ковариации процесса (( Q_k )).

# Определение матрицы перехода состояния для простого броуновского движения с дрейфом
F_k = np.array([[1, dt],
                [0, 1]])  # Настройте dt (дельта времени) для вашей гранулярности

# Модель управляющего воздействия часто опускается, если управление не применяется
B_k = np.array([[0],
                [0]])

# Матрица ковариации процесса
Q_k = np.array([[1e-5, 0],
                [0, 1e-5]])

Шаг 3: Определение модели наблюдения

Модель наблюдения (( H_k )) отображает истинное пространство состояний в наблюдаемое пространство. В данном сценарии это часто так же просто, как:

# Модель наблюдения
H_k = np.array([[1, 0]])

Шаг 4: Ковариация шума измерения

Критически важно понимать характеристики шума измерений.

# Ковариация шума измерения
R_k = np.array([[1e-2]])

Шаг 5: Инициализация матрицы ковариации

Начальная оценка матрицы ковариации ошибки ( P_{0

0} ).

# Начальная матрица ковариации оценки
P_initial = np.eye(2)

Шаг 6: Прогноз и обновление

Теперь реализуем фазы прогноза и обновления итеративно по ценовому ряду.

num_steps = len(price_series)
x_estimates = np.zeros((num_steps, 2))
P_estimates = np.zeros((num_steps, 2, 2))

# Инициализация состояния и ковариации
x_current = x_initial
P_current = P_initial

for k in range(num_steps):
    # Прогноз
    x_pred = F_k @ x_current + B_k @ np.zeros((1,))
    P_pred = F_k @ P_current @ F_k.T + Q_k

    # Наблюдение
    z = price_series[k]

    # Обновление
    K_k = P_pred @ H_k.T @ np.linalg.inv(H_k @ P_pred @ H_k.T + R_k)
    x_current = x_pred + K_k @ (z - H_k @ x_pred)
    P_current = (np.eye(2) - K_k @ H_k) @ P_pred

    x_estimates[k, :] = x_current
    P_estimates[k, :, :] = P_current

Этот фрагмент кода итеративно применяет фильтр Калмана к ценовым данным временного ряда, прогнозируя и обновляя цену и скорость её изменения.

Метрики производительности

Для оценки эффективности фильтра Калмана в прогнозировании цен акций можно использовать несколько метрик, таких как средняя абсолютная ошибка (MAE), среднеквадратическая ошибка (RMSE) и коэффициент детерминации R-квадрат. Вот как их можно вычислить на Python.

from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error, r2_score

# Извлечение прогнозируемых цен из оценок состояния
predicted_prices = x_estimates[:, 0]

# Расчет метрик производительности
mae = mean_absolute_error(price_series, predicted_prices)
rmse = np.sqrt(mean_squared_error(price_series, predicted_prices))
r_squared = r2_score(price_series, predicted_prices)

print(f'MAE: {mae}')
print(f'RMSE: {rmse}')
print(f'R-квадрат: {r_squared}')

Эти метрики предоставят количественную оценку того, насколько хорошо фильтр Калмана прогнозирует цены акций, позволяя оптимизировать и настраивать параметры фильтра.

Заключение

Применение фильтра Калмана в алгоритмической торговле демонстрирует его универсальность и мощь в повышении точности прогнозов путем отфильтровывания шума и захвата базовых стохастических процессов. Понимание его математической основы и реализация в коде дает вам мощный инструмент для прогнозирования временных рядов в финансах.

Для получения дополнительной информации о конкретных реализациях вы можете посетить компании, специализирующиеся на финансовых технологиях и прогнозировании рынка, такие как Numerai и QuantConnect.