Процессы принятия решений Маркова (MDP)

Введение

Процессы принятия решений Маркова (MDP) - это математические структуры, используемые для моделирования принятия решений в средах, где результаты частично случайны и частично под контролем лица, принимающего решения. MDP широко используются в различных областях, включая робототехнику, экономику, производство и финансы. Они обеспечивают строгую основу для анализа и оптимизации проблем последовательного принятия решений, где каждое действие влияет не только на немедленные вознаграждения, но и на будущие состояния и вознаграждения.

Компоненты MDP

MDP обычно определяется следующими компонентами:

Состояния ((S))

Множество всех возможных состояний (S) представляет каждую мыслимую ситуацию, в которой может оказаться агент. Каждое состояние содержит всю информацию, необходимую для принятия решения.

Пример: В торговой среде акций состояние может быть представлено текущими ценами различных акций, доступными средствами и существующими холдингами портфеля.

Действия ((A))

Множество всех возможных действий (A) включает все решения, которые агент может принять в любом состоянии.

Пример: В той же торговой среде акций действия могут включать покупку, продажу или удержание акции.

Вероятности перехода ((T) или (P))

Вероятности перехода ( P(s’|s,a) ) описывают вероятность перехода из состояния ( s ) в состояние ( s’ ) при действии ( a ). Вероятности должны удовлетворять свойству Маркова, подразумевая, что будущее состояние зависит только от текущего состояния и действия, а не от истории состояний и действий.

Пример: Если агент покупает акцию, вероятность перехода оценит вероятность различных изменений в цене акции.

Вознаграждения ((R))

Функция вознаграждения ( R(s,a,s’) ) определяет немедленное вознаграждение, полученное после перехода из состояния ( s ) в состояние ( s’ ) из-за действия ( a ). Это количественно представляет выгоду от выполнения конкретного действия в данном состоянии.

Пример: В торговой среде вознаграждением может быть прибыль или убыток в результате покупки или продажи акции.

Формальное определение

MDP можно формально определить как кортеж ( (S, A, P, R, \gamma) ), где:

( S ) - это пространство состояний
( A ) - это пространство действий
( P ) - это функция вероятности перехода
( R ) - это функция вознаграждения
( \gamma ) - это коэффициент дисконтирования, который определяет текущую стоимость будущих вознаграждений

Политики

Политика ( \pi ) - это стратегия, используемая агентом, определяющая действие для выполнения в каждом состоянии. Политики могут быть детерминированными (( \pi(s) = a )) или стохастическими (( \pi(a|s) )), где последнее является распределением вероятностей над действиями при данном состоянии.

Оптимальная политика

Цель в MDP - найти оптимальную политику ( \pi^* ), которая максимизирует ожидаемое кумулятивное вознаграждение с течением времени. Это часто формализуется с использованием функции стоимости или функции стоимости действия.

Функции стоимости

Функции стоимости используются для оценки долгосрочных выгод состояний или пар состояние-действие при данной политике. Два основных типа функций стоимости:

Функция стоимости состояния (( V^\pi(s) ))

Функция стоимости состояния ( V^\pi(s) ) представляет ожидаемое кумулятивное вознаграждение от начала в состоянии ( s ) и следования политике ( \pi ).

[ V^\pi(s) = \mathbb{E}\pi \left[ \sum{t=0}^{\infty} \gamma^t R(s_t, a_t, s_{t+1}) \mid s_0 = s \right] ]

Функция стоимости действия (( Q^\pi(s, a) ))

Функция стоимости действия ( Q^\pi(s, a) ) представляет ожидаемое кумулятивное вознаграждение от начала в состоянии ( s ), выполнения действия ( a ) и последующего следования политике ( \pi ).

[ Q^\pi(s, a) = \mathbb{E}\pi \left[ \sum{t=0}^{\infty} \gamma^t R(s_t, a_t, s_{t+1}) \mid s_0 = s, a_0 = a \right] ]

Уравнения Беллмана

Уравнения Беллмана обеспечивают рекурсивные отношения для функций стоимости, необходимые для решения MDP.

Уравнение ожидания Беллмана для ( V^\pi )

[ V^\pi(s) = \sum_{a \in A} \pi(a

s) \left[ R(s, a) + \gamma \sum_{s’ \in S} P(s’

s, a) V^\pi(s’) \right] ]

Уравнение ожидания Беллмана для ( Q^\pi )

[ Q^\pi(s, a) = R(s, a) + \gamma \sum_{s’ \in S} P(s’

s, a) \sum_{a’ \in A} \pi(a’

s’) Q^\pi(s’, a’) ]

Методы решения

Существует несколько методов для нахождения оптимальных политик в MDP, классифицированных на динамическое программирование, методы Монте-Карло и методы временной разности.

Динамическое программирование

Методы динамического программирования используют уравнения Беллмана для итеративного улучшения оценок стоимости и политик. Ключевые алгоритмы включают:

Итерация по стоимости

Итерация по стоимости многократно обновляет функцию стоимости состояния до тех пор, пока она не сойдется к оптимальной функции стоимости.

[ V_{k+1}(s) = \max_{a \in A} \left[ R(s, a) + \gamma \sum_{s’ \in S} P(s’

s, a) V_k(s’) \right] ]

Итерация по политике

Итерация по политике чередуется между оценкой политики (оценкой функции стоимости для данной политики) и улучшением политики (генерацией лучшей политики на основе текущей функции стоимости).

Оценка политики: Решение ( V^\pi(s) ) для текущей политики ( \pi ).
Улучшение политики: Обновление политики ( \pi ) с использованием обновленной функции стоимости.

[ \pi’(s) = \arg\max_{a \in A} \left[ R(s, a) + \gamma \sum_{s’ \in S} P(s’

s, a) V^\pi(s’) \right] ]

Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло оценивают функции стоимости на основе выборочных эпизодов из MDP. Эти методы не требуют знания вероятностей перехода и используются в контекстах без модели.

Первого посещения MC

Монте-Карло первого посещения обновляет функцию стоимости на основе первого вхождения каждого состояния или пары состояние-действие в эпизоде.

Каждого посещения MC

Монте-Карло каждого посещения обновляет функцию стоимости на основе каждого вхождения каждого состояния или пары состояние-действие в эпизоде.

Обучение с временной разностью (TD)

Методы временной разности объединяют идеи динамического программирования и методов Монте-Карло. TD обучение обновляет оценки стоимости на основе разности (временной разности) между последовательными оценками стоимости.

TD(0)

TD(0) - это простейшая форма, обновляющая функцию стоимости с использованием одношагового прогноза.

[ V(s_t) \leftarrow V(s_t) + \alpha \left[ R_{t+1} + \gamma V(s_{t+1}) - V(s_t) \right] ]

Q-обучение

Q-обучение - это алгоритм управления TD вне политики, который изучает оптимальную политику независимо от действий агента.

[ Q(s_t, a_t) \leftarrow Q(s_t, a_t) + \alpha \left[ R_{t+1} + \gamma \max_{a} Q(s_{t+1}, a) - Q(s_t, a_t) \right] ]

SARSA

SARSA - это алгоритм управления TD на политике, который обновляет функцию стоимости действия на основе действий агента, следующих текущей политике.

[ Q(s_t, a_t) \leftarrow Q(s_t, a_t) + \alpha \left[ R_{t+1} + \gamma Q(s_{t+1}, a_{t+1}) - Q(s_t, a_t) \right] ]

Применения в алгоритмической торговле

MDP имеют значительные применения в алгоритмической торговле, где агенты должны принимать последовательные решения в условиях неопределенности для максимизации доходности.

Оптимальное исполнение

Одно из ключевых применений - оптимальное исполнение сделки, при котором агент определяет лучшие времена и количества для торговли, чтобы минимизировать транзакционные издержки и рыночное воздействие.

Управление портфелем

MDP могут использоваться для динамической оптимизации портфеля, где агент корректирует свои холдинги в ответ на изменяющиеся рыночные условия для достижения баланса между риском и доходностью.

Маркет-мейкинг

Агенты могут использовать MDP для разработки оптимальных стратегий маркет-мейкинга, устанавливая спреды bid-ask на основе вероятных будущих движений цен для максимизации прибыли от спреда при управлении риском инвентаря.

Обучение с подкреплением в торговле

Обучение с подкреплением, охватывающее многие методы решения MDP, используется для разработки сложных торговых алгоритмов. Платформы, такие как Alpaca и QuantConnect, предоставляют среды для тестирования и развертывания этих стратегий.

Заключение

Процессы принятия решений Маркова предлагают надежную структуру для решения проблем последовательного принятия решений в стохастических средах. Благодаря своей способности балансировать немедленные и будущие вознаграждения, они незаменимы в различных областях, особенно в алгоритмической торговле, где они помогают разрабатывать стратегии для оптимизации финансовой доходности в условиях неопределенности. Через методы, включая динамическое программирование, Монте-Карло и обучение с временной разностью, MDP облегчают разработку оптимальных политик для сложных реальных проблем.