Реализация алгоритма фильтра Калмана

Фильтр Калмана, названный в честь Рудольфа Э. Кальмана, представляет собой алгоритм, который использует серию измерений, наблюдаемых с течением времени, содержащих статистический шум и другие неточности, и дает оценки неизвестных переменных, которые имеют тенденцию быть более точными, чем те, которые основаны на одном только измерении. Он широко используется в различных областях, таких как навигация, системы управления и обработка сигналов. В этом документе будут подробно рассмотрены детали реализации фильтра Калмана в контексте алгоритмической торговли.

Введение

Целью алгоритмической торговли является разработка различных моделей для прогнозирования движения цен или других рыночных переменных. Эти модели могут значительно выиграть от использования фильтра Калмана благодаря его способности оценивать состояние процесса таким образом, чтобы минимизировать среднее квадратичной ошибки. В этом разделе рассматриваются основы фильтра Калмана, включая его математическую основу, прежде чем перейти к его конкретному применению в торговых алгоритмах.

Основы фильтра Калмана

Математическая основа

Алгоритм фильтра Калмана работает в два этапа: этапы прогнозирования и обновления. Два ключевых уравнения на этих этапах:

Предсказание: [ \hat{x}{k|k-1} = F_k \hat{x}{k-1|k-1} + B_k u_k ] [ P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k ]
Обновление: [ K_k = P_{k|k-1} H_k^T (H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k)^{-1} ] [ \hat{x}{k|k} = \hat{x}{k|k-1} + K_k (z_k - H_k \hat{x}{k|k-1}) ] [ P{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1} ]

Где:

( \hat{x}_{k

k-1} ) — прогнозируемая оценка состояния на временном шаге ( k ) на основе состояния на временном шаге ( k-1 ).

( \hat{x}_{k k} ) — обновленная оценка состояния после учета измерения.

( P_{k

k-1} ) и ( P_{k

k} ) — прогнозируемые и обновленные ковариационные матрицы состояний соответственно.

( K_k ) — матрица усиления Калмана.
( F_k ) — модель перехода состояний.
( B_k ) — модель управляющего входа.
( u_k ) — вектор управления.
( Q_k ) — ковариация шума процесса.
( z_k ) — измерение на временном шаге ( k ).
( H_k ) — модель наблюдения.
( R_k ) — ковариация шума измерения.

Предположения

Прежде чем применять фильтр Калмана, необходимо выполнить определенные предположения:

Система должна быть описана в линейных терминах или фильтр Калмана должен быть адаптирован (расширенный фильтр Калмана) для нелинейных систем.
Шум как процесса, так и измерения должен быть гауссовским и белым, то есть иметь нулевое среднее значение.

Применение фильтра Калмана в алгоритмическом трейдинге

Прогноз цен на акции

Акции колеблются таким образом, что их можно описать несколько линейной зависимостью, находящейся под влиянием множества факторов. Моделируя цены акций как стохастический процесс, фильтр Калмана может оценить основной сигнал цены акций, который «скрыт» под шумом частых колебаний. Вот пошаговое руководство о том, как реализовать фильтр Калмана для прогнозирования цен на отдельные акции.

Шаг 1: Определите переменные

Сначала определите переменные состояния для фильтра, которыми в данном случае может быть сама цена и термин «скорость», представляющий скорость изменения цены.

import numpy as np

# Initial state (e.g., starting price and velocity)
x_initial = np.array([price, velocity])

Шаг 2. Определите матрицу перехода состояний

Следующим шагом является определение матрицы перехода состояний (( F_k )), матрицы управления (( B_k )) и ковариационной матрицы процесса (( Q_k )).

# Define the state transition matrix for a simple Brownian motion with drift
F_k = np.array[[1, dt],
                [0, 1]])  # Adjust dt (delta time) for your granularity

# Control-input model is often omitted if there's no control applied
B_k = np.array[[0],
                [0]])

# Process covariance matrix
Q_k = np.array[[1e-5, 0],
                [0, 1e-5]])

Шаг 3: Определите модель наблюдения

Модель наблюдения (( H_k )) отображает истинное пространство состояний в наблюдаемое пространство. В этом сценарии это часто так же просто, как:

# Observation model
H_k = np.array([[1, 0]])

Шаг 4: Измерение ковариации шума

Очень важно понимать шумовые характеристики измерений.

# Measurement noise covariance
R_k = np.array([[1e-2]])

Шаг 5: Инициализируйте ковариационную матрицу

Начальная оценка ковариационной матрицы ошибок ( P_{0

0} ).

# Initial estimation covariance matrix
P_initial = np.eye(2)

Шаг 6: Прогнозирование и обновление

Теперь реализуйте этапы прогнозирования и обновления итеративно по всему ценовому ряду.

num_steps = len(price_series)
x_estimates = np.zeros((num_steps, 2))
P_estimates = np.zeros((num_steps, 2, 2))

# Initialize state and covariance
x_current = x_initial
P_current = P_initial

for k in range(num_steps):
    # Prediction
    x_pred = F_k @ x_current + B_k @ np.zeros((1,))
    P_pred = F_k @ P_current @ F_k.T + Q_k
    
    # Observation
    z = price_series[k]
    
    # Update
    K_k = P_pred @ H_k.T @ np.linalg.inv(H_k @ P_pred @ H_k.T + R_k)
    x_current = x_pred + K_k @ (z - H_k @ x_pred)
    P_current = (np.eye(2) - K_k @ H_k) @ P_pred
    
    x_estimates[k, :] = x_current
    P_estimates[k, :, :] = P_current

Этот фрагмент кода будет итеративно применять фильтр Калмана к данным о ценах временных рядов, прогнозируя и обновляя цену и скорость ее изменения.

Показатели производительности

Чтобы оценить эффективность фильтра Калмана при прогнозировании цен на акции, можно использовать несколько показателей, таких как средняя абсолютная ошибка (MAE), среднеквадратическая ошибка (RMSE) и значение R-квадрата. Вот как вы можете вычислить их в Python.

from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error, r2_score

# Extract predicted prices from the state estimates
predicted_prices = x_estimates[:, 0]

# Calculate performance metrics
mae = mean_absolute_error(price_series, predicted_prices)
rmse = np.sqrt(mean_squared_error(price_series, predicted_prices))
r_squared = r2_score(price_series, predicted_prices)

print(f'MAE: {mae}')
print(f'RMSE: {rmse}')
print(f'R-Squared: {r_squared}')

Эти показатели обеспечат количественную оценку того, насколько хорошо фильтр Калмана прогнозирует цены акций, что позволит оптимизировать и настроить параметры фильтра.

Заключение

Применение фильтра Калмана в алгоритмической торговле демонстрирует его универсальность и эффективность в повышении точности прогнозов за счет фильтрации шума и регистрации основных стохастических процессов. Понимание его математической основы и реализация в коде дает вам мощный инструмент для прогнозирования временных рядов в финансах.

Для получения более подробной информации о конкретных реализациях вы можете посетить компании, специализирующиеся на финансовых технологиях и прогнозировании рынка, такие как Numerai и QuantConnect.