Оптимальный размер ставки по Келли

Введение

Оптимальный размер ставки Келли, также известный как критерий Келли, представляет собой формулу, которая определяет оптимальный размер серии ставок, которая максимизирует темпы роста богатства с течением времени. Он был представлен Джоном Ларри Келли-младшим в статье 1956 года под названием «Новая интерпретация скорости передачи информации» и с тех пор стал центральной концепцией в области азартных игр, инвестиций и торговли.

Формула критерия Келли

Базовую формулу критерия Келли можно выразить так: [ f^* = \frac{bp - q}{b} ]

Где:

( f^* ) — доля текущего банкролла, которую можно поставить.
( b ) кратно сумме ставки, которая будет выиграна.
(p) — вероятность выигрыша.
(q) — вероятность проигрыша, которая равна (1 — p).

В более практических сценариях, особенно в финансах, формула может быть скорректирована с учетом непрерывных переменных и других факторов, но основной принцип остается — рассчитывать оптимальный размер ставки для максимизации логарифмического роста богатства, принимая во внимание как потенциал роста, так и риск снижения.

Применение в алгоритмическом трейдинге

Алгоритмическая торговля использует вычислительные алгоритмы для принятия торговых решений. Включение критерия Келли в алгоритмическую торговую стратегию может привести к лучшему управлению рисками и оптимизации доходности. Вот как это применяется:

Определение вероятности выигрыша и соотношения выигрыша/проигрыша: Вероятность выигрыша (p) и соотношение выигрыша/проигрыша (b) определяются на основе исторических торговых данных. Это включает в себя тестирование торговых стратегий на исторических данных, чтобы определить уровень успеха и средний коэффициент выигрыша.
Расчет размера ставки. Используя формулу Келли, трейдеры рассчитывают оптимальную долю своего капитала для распределения на каждую сделку. Это гарантирует, что сделки не будут ни слишком маленькими (приводящими к недостаточному использованию капитала), ни слишком большими (приводящими к чрезмерному риску).
Динамическая корректировка: по мере поступления новых данных и изменения вероятностей выигрыша и коэффициентов выплат размер ставки по критерию Келли пересчитывается, что позволяет осуществлять динамическую корректировку торговых позиций.

Практические соображения

Преимущества

Максимальный рост: Критерий Келли теоретически максимизирует темпы роста капитала в долгосрочной перспективе.
Управление рисками: этот критерий, учитывающий как вероятность, так и выигрыш, помогает трейдерам более эффективно управлять рисками.

Недостатки

Ошибки оценки: точность критерия Келли зависит от точности входных вероятностей и выигрышей. Неправильная оценка может привести к неоптимальному размеру ставки.
Волатильность: ставки Келли могут привести к высокой волатильности стоимости счета, поскольку они часто предполагают более агрессивные позиции, чем стратегии ставок с фиксированной долей.
Риски овербетов: при неправильном использовании, особенно с очень волатильными активами, этот критерий может указывать на слишком большие размеры ставок, что потенциально может привести к значительным просадкам.

Дробный Келли

Чтобы смягчить некоторые недостатки, трейдеры иногда используют подход дробного Келли, при котором используется только часть оптимального размера ставки Келли. Например, ставка Келли 50% будет означать ставку половины предложенной Келли суммы. Это снижает волатильность и риск крупных просадок.

Пример расчета

Давайте рассмотрим простой гипотетический сценарий торговли:

Вероятность победы (p): 0,6
Коэффициент выигрыша (b): 2 (т. е. если сделана ставка в 1 доллар, выиграно 2 доллара)
Вероятность проигрыша (q): 0,4

Используя формулу Келли: [ f^* = \frac{(2)(0,6) - 0,4}{2} ] [ f^* = \frac{1.2 - 0.4}{2} ] [ f^* = \frac{0.8}{2} ] [ f^* = 0,4 ]

Итак, оптимальный размер ставки будет составлять 40% от текущего банкролла.

Реализация на Python

Ниже приведена простая реализация критерия Келли на языке Python для торговли:

def kelly_criterion(win_probability, payoff_ratio):
    loss_probability = 1 - win_probability
    return (payoff_ratio * win_probability - loss_probability) / payoff_ratio

# Example parameters
win_probability = 0.6
payoff_ratio = 2

optimal_bet_size = kelly_criterion(win_probability, payoff_ratio)
print(f"Optimal Bet Size: {optimal_bet_size * 100:.2f}% of the bankroll")

Этот код выведет:

Optimal Bet Size: 40.00% of the bankroll

Реальные примеры и компании

Ренессанс Технологии

Renaissance Technologies — компания по управлению хедж-фондами, которая использует количественные модели, полученные на основе математических и статистических методов. Компания Renaissance Technologies, основанная Джимом Саймонсом, является одним из пионеров алгоритмической торговли и, по слухам, использует принципы, аналогичные критерию Келли, для оптимизации своих торговых стратегий.

Две Сигмы

Two Sigma — еще один крупный игрок в сфере алгоритмической торговли, использующий крупномасштабный анализ данных, передовые технологии и математические модели. Стратегии «Двух сигм» включают сложные методы управления рисками, которые, вероятно, используют принципы критерия Келли.

Цитадель

Citadel, основанная Кеном Гриффином, является глобальным финансовым институтом, специализирующимся на количественной торговле и математических моделях. Фирма использует различные передовые тактики управления рисками, которые могут включать в себя оптимальный размер ставок по Келли для эффективного распределения капитала.

Заключение

Критерий Келли предлагает математически обоснованный метод определения оптимального размера ставки в трейдинге, максимизирующий долгосрочный рост при учете риска. Несмотря на теоретические преимущества, практическая реализация требует тщательного рассмотрения из-за потенциальной волатильности и необходимости точных оценок входных данных. Разумно применяя критерий Келли, трейдеры могут улучшить свои стратегии управления рисками и распределения капитала, способствуя более стабильным долгосрочным результатам в нестабильном мире финансовых рынков.