Решеточные модели в ценообразовании опционов

Решеточные модели, также называемые моделями деревьев, - это фундаментальный инструмент в количественных финансах, особенно в ценообразовании опционов и других ценных бумаг, производных от них. Эти модели предназначены для обеспечения дискретной аппроксимации эволюции цены базового актива с течением времени. Они могут быть особенно полезны в сценариях, где закрытые решения недоступны, обеспечивая гибкость и вычислительную эффективность.

Биномиальная модель

Биномиальная модель ценообразования опционов, введенная Джоном Коксом, Стефаном Россом и Марком Рубинштейном в 1979 году, - это одна из наиболее часто используемых решеточных моделей. Это дискретная модель временных стоимостей опционов, представляющая упрощенное представление о возможных путях, по которым может изменяться цена базового актива.

Построение модели

В биномиальной модели цена базового актива может двигаться вверх или вниз на определенные коэффициенты, u (фактор роста) и d (фактор снижения), в течение каждого дискретного временного шага Δt. Вероятности этих движений составляют p (вероятность роста вверх) и (1-p) (вероятность движения вниз).

Коэффициенты u и d могут быть определены на основе волатильности σ и длины временного шага Δt:

u = e^(σ√Δt) d = e^(-σ√Δt)

Вероятность p движения вверх в нейтральном к риску мире задается:

p = (e^(rΔt) - d) / (u - d)

Где r - безрисковая ставка.

Процесс оценки

Построение решетки: Начните с создания многопериодного дерева, где каждый узел представляет возможную цену базового актива в определенный момент.
Расчет стоимости опциона: Работайте в обратном направлении от терминальных узлов (срока погашения) дерева, чтобы рассчитать стоимость опциона в каждом узле.
Платеж при погашении: Стоимость в каждом терминальном узле - это платеж по опциону (например, для колл-опциона, max(S_T - K, 0), где S_T - цена базового актива при погашении, а K - цена страйка).
Дисконтированная ожидаемая стоимость: Стоимость в каждом предшествующем узле - это дисконтированная ожидаемая стоимость опциона с учетом вероятностей перемещения в соседние узлы в следующем периоде.

V_i = e^(-rΔt) [p V_{i+1} + (1-p) V_{i-1}]

Преимущества и недостатки

Преимущества:

Гибкость: Может обрабатывать различные типы опционов и включать функции, такие как дивиденды и американский стиль исполнения.
Интуитивное: Легко концептуализировать и реализовать, что делает его доступным в образовательных целях.

Недостатки:

Вычислительно интенсивно: Для большого количества временных шагов и многомерных задач биномиальная модель может стать вычислительно дорогостоящей.
Приближения: Модель, будучи дискретной по природе, вводит ошибки приближения, хотя эти ошибки можно минимизировать, увеличив количество временных шагов.

Триномиальная модель

Триномиальная модель ценообразования опционов - это расширение биномиальной модели, которое рассматривает три возможных движения цены: вверх, вниз и неизменность. Эта модель обеспечивает большую точность и стабильность по сравнению с биномиальной моделью, особенно при работе с большими временными шагами.

Построение модели

В триномиальной модели цена базового актива может двигаться вверх на коэффициент u, вниз на коэффициент d или оставаться неизменной на коэффициент m (обычно установлено на 1).

u = e^(σ√(2Δt)) d = e^(-σ√(2Δt)) m = 1

Вероятности без риска p_u, p_d и p_m для движений вверх, вниз и неизменности соответственно определяются как:

p_u = 1/2 (λ²/2 + λ + λ + 1) p_d = 1/2 (λ²/2 - λ) p_m = 1 - p_u - p_d

где λ = rΔt / (σ√(2Δt))

Оценка триномиального дерева

Построить дерево: Создайте триномиальное дерево на протяжении жизни опциона.
Вычислить платежи: Определите платеж в каждом конечном узле.
Обратная индукция: Двигайтесь в обратном направлении от погашения к настоящему времени, вычисляя дисконтированную ожидаемую стоимость опциона на каждом шаге.

V_i = e^(-rΔt) [p_u V_{i+1,u} + p_m V_{i,m} + p_d V_{i+1,d}]

Плюсы и минусы

Плюсы:

Уменьшенная ошибка: Включая дополнительное состояние цены, модель обеспечивает более точное приближение к непрерывным процессам.
Стабильность: Более стабильна и точна по сравнению с биномиальной моделью, особенно при приближении высокой волатильности.

Минусы:

Сложность: Более сложна в реализации и визуализации по сравнению с биномиальной моделью.
Вычислительные расходы: Немного более вычислительно требователь из-за дополнительного состояния.

Расширения решеточных моделей

Подразумеваемая волатильность и калибровка

Как биномиальная, так и триномиальная модели требуют правильной калибровки волатильности для точного ценообразования опционов. Калибровка включает выравнивание цен, генерируемых моделью, с ценами, наблюдаемыми на рынке, путем корректировки параметра волатильности.

Американские опционы

Решеточные модели особенно хорошо подходят для оценки американских опционов, которые могут быть исполнены в любое время до погашения. Алгоритм проверяет в каждом узле, дает ли немедленное исполнение более высокую стоимость, чем сохранение опциона.

Акции с выплатой дивидендов

Можно внести коррективы в решеточные модели для включения дивидендов. Для дискретных дивидендов цена базового акции снижается на размер дивиденда в дату без дивидендов. Для непрерывных дивидендов фактор эволюции цены акции учитывает дивидендный доход δ.

u = e^((σ - δ)√Δt) d = e^(-(σ + δ)√Δt)

Практические приложения и программное обеспечение

Решеточные модели широко используются в финансах для различных приложений, выходящих за рамки классического ценообразования опционов, включая:

Конвертируемые облигации: Ценообразование ценных бумаг, которые могут быть преобразованы в определенное количество базовых акций.
Реальные опционы: Оценка инвестиционных возможностей с управленческой гибкостью.
Управление рисками: Оценка рисковой экспозиции портфелей, содержащих производные инструменты.

Несколько платформ программного обеспечения и инструментов предоставляют реализации решеточных моделей, включая MATLAB, Python (с библиотеками, такими как QuantLib и pandas), и специализированное финансовое программное обеспечение, такое как Bloomberg Terminal и Thomson Reuters Eikon.

Заключение

Решеточные модели благодаря своей адаптируемости и интуитивной структуре стали неотъемлемой частью области ценообразования финансовых производных инструментов. Хотя они имеют определенные вычислительные ограничения, их гибкость в обработке различных типов производных инструментов и рыночных условий продолжает делать их бесценным инструментом в количественных финансах.

Для получения дополнительной информации о программном обеспечении и инструментах финансового моделирования посетите Bloomberg Terminal или Thomson Reuters Eikon.