Метод наименьших абсолютных отклонений (LAD)

Метод наименьших абсолютных отклонений (LAD) - это метод оптимизации, используемый в статистическом моделировании и регрессионном анализе, который минимизирует сумму абсолютных различий (ошибок) между наблюдаемыми значениями и предсказанными значениями. Этот метод особенно полезен в случаях, когда данные содержат выбросы или не распределены нормально, поскольку LAD более устойчив к выбросам в сравнении с методами, такими как обычные наименьшие квадраты (OLS), которые минимизируют сумму квадратов различий.

Введение

На финансовых рынках, особенно в алгоритмической торговле, модели должны точно предсказывать цены активов, доходы или другие ключевые индикаторы. Точность этих прогнозов в значительной степени зависит от статистического метода, используемого для построения модели. Традиционные методы, такие как регрессия обычных наименьших квадратов, могут не работать адекватно, когда данные подвержены выбросам или имеют тяжелые хвосты распределения. Регрессия наименьших абсолютных отклонений, с другой стороны, предлагает устойчивую альтернативу путём минимизации суммы абсолютных ошибок, а не суммы квадратов ошибок.

Математическая формулировка

Учитывая набор точек данных ((x_i, y_i)) где (i = 1,2,…,n), целью метода наименьших абсолютных отклонений является найти коэффициенты ( \beta_0, \beta_1,…, \beta_k ), которые минимизируют функцию целей:

[ \text{Minimize} \sum_{i=1}^{n}

y_i - ( \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} +… + \beta_k x_{ik} )

]

Здесь, (y_i) представляет наблюдаемое значение, и ( \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} +… + \beta_k x_{ik} ) - это предсказанное значение.

Почему выбрать LAD в алгоритмической торговле?

Устойчивость: LAD менее чувствительна к экстремальным значениям, так как минимизирует абсолютные, а не квадратичные различия. Эта характеристика полезна при работе с рыночными данными, которые часто содержат выбросы.
Лучшая производительность с тяжелыми хвостами: Финансовые данные часто демонстрируют тяжелые хвосты (экстремальные отклонения от среднего встречаются более часто, чем в нормальном распределении). LAD может более эффективно справляться с такими распределениями данных.
Масштабируемость: Современные системы алгоритмической торговли требуют моделей, которые хорошо масштабируются с высокомерными данными. LAD может быть вычислительно эффективным, особенно с передовыми алгоритмами оптимизации.

Вычисление наименьших абсолютных отклонений

Задача оптимизации, поставленная LAD, является недифференцируемой из-за функции абсолютного значения, что делает её сложной для решения с использованием традиционных методов на основе градиентов. Однако, существуют несколько подходов для решения этой проблемы:

Линейное программирование: Задача LAD может быть преобразована в задачу линейного программирования, которая затем может быть решена с использованием стандартных методов линейного программирования.
Методы субградиентов: Эти методы могут справляться с недифференцируемыми функциями, используя субградиенты вместо градиентов.
Метод Симплекса: Метод Симплекса может быть использован для поиска минимума преобразованной задачи линейного программирования LAD.

Применение в алгоритмической торговле

Модели следования за трендом: Подчеркивая точность прогноза над управлением ошибкой в квадрате, LAD может улучшить модели следования за трендом, которые критичны в стратегиях алгоритмической торговли, таких как торговля импульсом.
Управление рисками: В моделях управления рисками минимизация абсолютных потерь может лучше отражать сценарии реального мира, где выбросы могут иметь большое влияние на финансовые решения.
Оптимизация портфеля: LAD может быть интегрирована в фреймворки оптимизации портфеля для минимизации профилей риска, которые подчеркивают меры риска хвоста, а не дисперсию.

Примеры компаний, внедряющих LAD

AQR Capital Management: AQR известна своим количественным анализом и надёжными методами моделирования, которые могут включать сложные методы, такие как LAD. Больше информации на сайте AQR.
Two Sigma: Этот хеджевый фонд сильно полагается на науку о данных и статистические методы. Хотя их публичная документация ограничена, их акцент на надёжном предсказательном моделировании согласуется с принципами LAD. Больше деталей можно найти на сайте Two Sigma.
Renaissance Technologies: Ещё одно ведущее имя в количественных финансах, Renaissance Technologies может использовать надёжные статистические методы, такие как LAD, для минимизации неточностей моделей при столкновении с рыночными аномалиями. Посетите Renaissance Technologies для получения дополнительной информации.

Заключение

Метод наименьших абсолютных отклонений предлагает надёжную альтернативу традиционным методам наименьших квадратов, делая его ценным для приложений алгоритмической торговли. Его способность справляться с выбросами и распределениями с тяжелыми хвостами делает его особенно подходящим для типов данных, встречаемых на финансовых рынках. Компании, такие как AQR, Two Sigma и Renaissance Technologies, могут использовать такие методы для повышения точности своих предсказательных моделей, гарантируя большую точность и лучшее управление рисками в своих торговых стратегиях.