Логарифмические доходности

Логарифмические доходности, часто называемые логарифмическими доходами, являются фундаментальной концепцией в финансовой математике и широко используются в области алгоритмической торговли. В отличие от простых или арифметических доходностей, которые рассчитываются как процентное изменение цены актива, логарифмические доходности определяются с использованием натурального логарифма отношения цен активов в последовательные периоды. Это кажущееся незначительным математическое преобразование имеет глубокие последствия для управления портфелем, оценки риска и структурирования финансовых моделей.

Определение и формула

Логарифмическая доходность рассчитывается с использованием натурального логарифма (ln) отношения финальной цены (Pt) к начальной цене (Pt-1) актива в течение определенного периода времени. Формула выглядит следующим образом:

[ \text{Логарифмическая доходность} = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) ]

Где:

( P_t ) - цена актива в момент времени t.
( P_{t-1} ) - цена актива в момент времени t-1.
(\ln) - функция натурального логарифма.

Преимущества логарифмических доходностей

Временная аддитивность: Одно из ключевых преимуществ логарифмических доходностей заключается в том, что они аддитивны по времени. Это означает, что полная логарифмическая доходность за несколько периодов просто равна сумме логарифмических доходностей каждого периода. Это свойство облегчает компилирование и анализ доходностей в различные временные горизонты.

[ \text{Полная логарифмическая доходность} = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-n}}\right) = \sum_{i=t-n+1}^{t} \ln\left(\frac{P_i}{P_{i-1}}\right) ]

Нормальное распределение: Логарифмические доходности имеют тенденцию быть более нормально распределенными, чем простые доходности, особенно за более длительные временные периоды. Это выгодно, потому что многие статистические и финансовые модели предполагают нормально распределенные доходности.
Сложение: Логарифмические доходности неявно учитывают эффекты сложения, что может дать более точное измерение доходности активов за несколько периодов.
Относительные доходности: Логарифмические доходности являются мерой относительного изменения, которая может быть более полезна при сравнении доходностей различных активов или рынков.

Применение в алгоритмической торговле

Алгоритмическая торговля предполагает использование компьютерных алгоритмов для выполнения сделок с высокой скоростью и частотой. Логарифмические доходности играют ключевую роль в этой области по нескольким причинам:

Управление риском: Логарифмические доходности используются для расчета волатильности и стоимости под риском (VaR) портфелей. Эти метрики необходимы для управления риском и определения потенциальных потерь в данной торговой стратегии.
Метрики производительности: Алгоритмы часто используют логарифмические доходности для анализа производительности торговых стратегий. Многие метрики производительности, такие как коэффициент Шарпа и информационный коэффициент, основаны на логарифмических доходностях благодаря их свойствам нормальности и аддитивности.
Бэктестирование: При бэктестировании торговых стратегий логарифмические доходности могут обеспечить более точное представление исторической производительности. Это особенно важно для стратегий, которые включают сложение доходностей в течение длительных периодов.
Возврат к среднему: Некоторые стратегии алгоритмической торговли основаны на концепции возврата к среднему, где предполагается, что цены активов вернутся к их историческому среднему. Логарифмические доходности особенно полезны при моделировании и выявлении поведения, возвращающегося к среднему, благодаря их статистическим свойствам.

Примеры из реальной жизни и компании

StockSharp: StockSharp предоставляет платформу алгоритмической торговли с открытым исходным кодом, где пользователи могут проектировать, бэктестировать и развертывать торговые алгоритмы. Они предоставляют обширную документацию и учебные материалы, которые часто обсуждают использование логарифмических доходностей при разработке стратегий.
Alpha Vantage: Alpha Vantage - это поставщик бесплатных API для различных финансовых данных, включая цены в реальном времени и исторические цены. Они часто предоставляют наборы данных, подходящие для расчета логарифмических доходностей и интеграции в модели алгоритмической торговли.
Two Sigma: Известный хедж-фонд и компания финансовых услуг, которая в значительной степени полагается на науку о данных и передовую математику, включая использование логарифмических доходностей, для управления своими стратегиями алгоритмической торговли.
Kaggle: Kaggle - это платформа для конкурсов по науке о данных, где финансовые наборы данных часто используются для задач алгоритмической торговли. Многие решения и ядра, предоставляемые сообществом, включают расчет и применение логарифмических доходностей.

Математические свойства

Логарифмические доходности имеют несколько математических свойств, которые делают их особенно подходящими для финансового анализа:

Симметрия: В отличие от простых доходностей, логарифмические доходности симметрично обрабатывают прибыли и убытки. Например, прирост 50%, за которым следует потеря 50%, приводит к логарифмической доходности 0%, отражая фактический результат - выход в ноль.
Инвариантность к масштабу: Логарифмические доходности не изменяются, когда цены масштабируются на постоянный коэффициент. Это свойство полезно в экономических ситуациях, где цены корректируются на инфляцию или другие факторы.
Приближение для малых изменений: Для небольших процентных изменений цены логарифмическая доходность приблизительно равна простой доходности. Это может сделать логарифмические доходности удобным и более аналитически надежным выбором для малых временных интервалов.

[ \ln\left(1 + r\right) \approx r ] для малых значений (r), где (r) - простая доходность.

Проблемы и соображения

Хотя логарифмические доходности предлагают много преимуществ, есть также некоторые проблемы и соображения, которые следует учитывать:

Интерпретация: Логарифмические доходности не так интуитивно понятны, как простые доходности, особенно для заинтересованных лиц, не владеющих математическими концепциями. Часто необходимо объяснить их значимость и преимущества простыми словами.
Отрицательные цены: Логарифмические доходности не определены для неположительных цен. Это может создать проблему при работе с некоторыми классами активов, такими как товары или производные инструменты, где цены могут быть нулевыми или отрицательными.
Частота данных: Выбор частоты данных (дневной, месячной, годовой) может влиять на распределение и свойства логарифмических доходностей. При выборе надлежащей частоты для анализа и моделирования требуется тщательное рассмотрение.

Заключение

Логарифмические доходности являются надежным и мощным инструментом в области финансов, особенно в контексте алгоритмической торговли. Они предлагают многочисленные преимущества над простыми доходностями, включая временную аддитивность, нормальность и возможность справляться с эффектами сложения. Эти свойства делают их незаменимыми для управления риском, анализа производительности и разработки торговых алгоритмов. Хотя существуют некоторые проблемы, связанные с их использованием, преимущества часто намного перевешивают недостатки, делая логарифмические доходности предпочтительным выбором для финансовых аналитиков и трейдеров.

Благодаря пониманию и применению логарифмических доходностей трейдеры алгоритмической торговли могут получить более точные представления о производительности и риске своих стратегий, что в конечном итоге приводит к принятию более обоснованных и прибыльных торговых решений.