Математические финансы

Математические финансы, также известные как количественные финансы, — это область прикладной математики, связанная с финансовыми рынками. Он использует математические модели и вычислительные методы для анализа финансовых рынков, построения моделей ценообразования, управления рисками и оптимизации портфелей. Ниже приведены некоторые важные области, охватываемые математическими финансами:

1. Финансовое моделирование

1.1 Модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза — одна из самых известных математических моделей ценообразования опционов и других производных финансовых инструментов. Он дает теоретическую оценку цены опционов европейского типа и основан на нескольких предположениях, включая постоянную волатильность и логарифмически нормальное распределение цен на акции.

Формула Блэка-Шоулза

[ C(S, t) = S_0N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2) ] Где: - (d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})t}{\sigma\sqrt{t}}) - (d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{t}) - (N(\cdot)) — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения — (S_0) — текущая цена акции — (X) — цена исполнения — (r) — безрисковая процентная ставка — (\sigma) — волатильность акции; (t) — время до истечения срока действия опциона.

1.2 Биномиальная модель ценообразования опционов.

Биномиальная модель ценообразования опционов — это еще одна модель ценообразования опционов с дискретным временем. В отличие от модели Блэка-Шоулза, она использует простое дерево возможных будущих цен акций, построенное итеративно. Эта модель особенно полезна для американских опционов, держатель которых имеет право исполнить опцион в любое время до истечения срока его действия.

Биномиальная формула

[ C = \frac{1}{(1+r)^t} \left[ pC_u + (1-p)C_d \right] ] Где: - (p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}) - (u) — коэффициент, на который увеличивается цена - (d) — коэффициент, на который цена снижается - (C_u) и (C_d) — опцион значения в соответствующих узлах

2. Управление рисками

2.1 Величина риска (VaR)

Значение риска — это статистический метод, используемый для измерения риска потерь в портфеле. Эта мера оценивает потенциальную потерю стоимости портфеля за определенный период для данного доверительного интервала.

Формула VaR

[ \text{VaR} = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \cdot \sigma_P \cdot \sqrt{T} ] Где: - (\Phi^{-1}) — обратная кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения — (\alpha) — уровень достоверности — (\sigma_P) — стандартное отклонение портфеля, (T) — временной горизонт.

2.2 Условная стоимость под риском (CVaR)

Условная стоимость под риском, также известная как ожидаемый дефицит, представляет собой меру риска, которая определяет среднее значение убытков, которые происходят за пределами порога VaR. Считается, что это более последовательная мера риска по сравнению с VaR.

Формула CVaR

[ \text{CVaR} = \mathbb{E}[L | L \geq \text{VaR}] ] Где: - (L) — распределение потерь — (\mathbb{E}[\cdot]) обозначает ожидаемое значение

3. Оптимизация портфеля

3.1 Оптимизация средней дисперсии

Введено Гарри Марковицем в 1952 году, «Оптимизация средней дисперсии» — это количественный инструмент, используемый для построения портфелей, которые максимизируют доход при заданном уровне риска. Граница эффективности представляет собой набор оптимальных портфелей.

Формула оптимизации средней дисперсии

[ \frac{\text{E}[R_P] - R_f}{\sigma_P} ] Где: - (E[R_P]) — ожидаемая доходность портфеля - (R_f) — безрисковая ставка — (\sigma_P) — стандартное отклонение доходности портфеля

3.2 Капитальный актив Модель ценообразования (CAPM)

CAPM — это модель, используемая для определения теоретической ожидаемой доходности актива на основе его систематического риска. Он широко используется для оценки рискованных ценных бумаг и расчета стоимости капитала.

Формула CAPM

[ E[R_i] = R_f + \beta_i (E[R_m] - R_f) ] Где: - (E[R_i]) — ожидаемая доходность актива — (R_f) — безрисковая ставка — (\beta_i) — бета актива — (E[R_m]) ожидаемая доходность рынка

4. Анализ временных рядов

4.1 Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее (ARIMA)

Модели ARIMA используются для понимания и прогнозирования будущих точек временного ряда. Они особенно подходят для наборов данных с тенденциями и характеризуются параметрами p, d и q.

Модель ARIMA

[ ARIMA(p, d, q) ] Где: - (p) — количество наблюдений запаздывания, включенных в модель — (d) — степень различия — (q) — размер окна скользящего среднего

4.2 Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (GARCH)

Модели GARCH используются для оценки волатильности доходности на финансовых рынках. Модель отражает изменяющуюся во времени волатильность, включая прошлые отклонения и прошлые ошибки.

Модель GARCH

[ \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 ] Где: - (\sigma_t^2) - условная дисперсия - (\alpha_0), (\alpha_1), (\beta_1) - коэффициенты - (\epsilon_{t-1}^2) — квадрат невязки с лагом

5. Стохастическое исчисление

5.1 Лемма Ито

Лемма Ито — фундаментальный результат стохастического исчисления, который используется для определения дифференциала функции случайного процесса. Это особенно полезно для ценообразования опционов.

Лемма Ито

Если (X_t) является функцией случайного процесса (Y_t), то: [ dX_t = \left( \frac{\partial X}{\partial t} + \frac{\partial X}{\partial Y} \mu_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 X}{\partial Y^2} \sigma_t^2 \right) dt + \frac{\partial X}{\partial Y} \sigma_t dW_t ] Где: - (\mu_t) и (\sigma_t) — дрейф и волатильность — (dW_t) — винеровский процесс

5.2 Мартингалес

A Мартингейл — это стохастический процесс, представляющий честную игру, в которой условное ожидание следующего значения при всех предыдущих значениях равно текущему значению.

Определение мартингала

[ \mathbb{E}[X_{t+1} | \mathcal{F}_t] = X_t ] Где: - (\mathcal{F}_t) — фильтрация или информация на текущий момент времени (t) — (X_t) — значение процесса в момент времени (t)

6. Вычислительные методы

6.1 Моделирование Монте-Карло

Моделирование Монте-Карло — это вычислительный алгоритм, который использует повторяющуюся случайную выборку для получения численных результатов. Он широко используется в финансах для моделирования вероятности различных результатов.

Монте-Карло Шаги:

Определить область возможных входных данных 2. Сгенерировать случайные входные данные 3. Выполнить детерминированные вычисления на входных данных 4. Объединить результаты

6.2 Методы конечных разностей

Методы конечных разностей — это численные методы решения дифференциальных уравнений путем аппроксимации их разностными уравнениями. Их часто используют для решения УЧП Блэка-Шоулза.

Конечно-разностная схема:

Явная схема - Неявная схема - Схема Крэнка-Николсона

Компании и учреждения, специализирующиеся на математических финансах

6.1 Количественные брокеры Количественные брокеры предоставляют расширенные алгоритмы и аналитику для агентского исполнения и торговли. Их методологии глубоко укоренены в математических финансах и вычислительных методах.

6.2 WorldQuant WorldQuant — это фирма по количественному управлению инвестициями, которая использует сложные математические модели для разработки торговых стратегий и управления портфелями.

6.3 Jane Street Jane Street — торговая фирма и поставщик ликвидности, специализирующаяся на использовании передовых количественных методов для торговли на мировых финансовых рынках.

6.4 Renaissance Technologies Renaissance Technologies — широко известная инвестиционная компания, известная своим фондом Medallion, который использует сложные математические модели для торговых стратегий.

6.5 Two Sigma Two Sigma — это количественный хедж-фонд высшего уровня, который использует науку о данных, машинное обучение и прикладную математику для разработки инвестиционных стратегий.

Заключение

Математические финансы — это обширная и сложная область, которая включает в себя различные математические и вычислительные методы для решения проблем на финансовых рынках, таких как ценообразование, управление рисками и оптимизация портфеля. Он продолжает развиваться благодаря развитию вычислительной мощности и доступности обширных данных.