Граница средней дисперсии

Граница средней дисперсии — это фундаментальная концепция современной портфельной теории и количественных финансов. Он представляет собой набор оптимальных портфелей, которые предлагают максимальную ожидаемую доходность для данного уровня риска (дисперсии) или минимальный риск для данного уровня ожидаемой доходности. Авторство этой концепции принадлежит Гарри Марковицу, чья новаторская работа в 1950-х годах заложила основу для большей части современной портфельной теории и принесла ему Нобелевскую премию по экономическим наукам в 1990 году.

Ключевые понятия и определения

Ожидаемый доход

Ожидаемый доход — это средневзвешенное значение возможных доходов от инвестиций или портфеля с весами, соответствующими вероятности каждого дохода. Математически для портфеля, состоящего из нескольких активов, ожидаемую доходность можно рассчитать как:

[ E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot E(R_i) ]

где: - ( E(R_p) ) — ожидаемая доходность портфеля. - ( w_i ) — вес актива ( i ) в портфеле. - ( E(R_i) ) — ожидаемая доходность актива ( i ).

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия измеряет дисперсию доходности вокруг ожидаемой доходности. Стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии и часто используется чаще, поскольку оно измеряется в той же единице измерения, что и сами доходы. Для портфеля дисперсию можно рассчитать как:

[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \cdot \sigma_{ij} ]

где: - ( \sigma_p^2 ) — дисперсия портфеля. - ( \sigma_{ij} ) — ковариация между доходностью актива ( i ) и актива ( j ).

Ковариация

Ковариация измеряет, как доходность двух активов движется вместе. Положительная ковариация указывает на то, что активы имеют тенденцию двигаться вместе, а отрицательная ковариация указывает на то, что они движутся в обратном направлении. Ковариация между двумя активами ( i ) и ( j ) определяется выражением:

[ \sigma_{ij} = \text{Cov}(R_i, R_j) = E[(R_i - E(R_i))(R_j - E(R_j))] ]

Эффективная граница

Эффективная граница равна восходящий сегмент границы средней дисперсии, представляющий набор портфелей, которые предлагают самую высокую ожидаемую доходность для данного уровня риска. Портфели на этой кривой считаются оптимальными, поскольку никакие другие портфели не предлагают более высокую доходность при таком же уровне риска.

Математическая формулировка

С математической точки зрения нахождение границы средней дисперсии включает в себя решение задачи оптимизации. Цель состоит в том, чтобы минимизировать дисперсию портфеля при условии ограничения ожидаемой доходности. Это можно сформулировать следующим образом:

Минимизировать:

[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \cdot \sigma_{ij} ]

При условии:

[ \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot E(R_i) = E(R_p) ]

[ \sum_{i=1}^{n} w_i = 1 ]

Эту задачу квадратичной оптимизации можно решить с использованием различных методов, включая множители Лагранжа, квадратичное программирование или численные методы.

Роль в оптимизации портфеля

Граница средней дисперсии играет решающую роль в оптимизации портфеля, обеспечивая систематическую основу для построения портфелей, обеспечивающих желаемый баланс между риском и доходностью. Инвесторы могут выбирать передовые портфели в зависимости от их толерантности к риску, инвестиционных целей и перспектив рынка.

Диверсификация портфеля

Одним из ключевых выводов, полученных в результате исследования границы средней дисперсии, является важность диверсификации. Комбинируя активы с различными характеристиками риска и доходности, инвесторы могут снизить общий риск своих портфелей, не жертвуя при этом ожидаемой доходностью. Преимущества диверсификации возникают, когда активы имеют низкую или отрицательную корреляцию друг с другом, поскольку это может значительно уменьшить дисперсию портфеля.

Линия рынка капитала (CML)

При наличии безрискового актива граница эффективности расширяется и включает комбинации безрискового актива и рискованных портфелей, что приводит к линии рынка капитала (CML). CML представляет собой компромисс между риском и доходностью для портфелей, которые включают как безрисковый актив, так и рыночный портфель (портфель касания на границе эффективности).

CML выражается как:

[ E(R_c) = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m} \cdot \sigma_c ]

где: - ( E(R_c) ) — ожидаемая доходность портфеля по CML. - ( R_f ) — безрисковая ставка. - ( E(R_m) ) — ожидаемая доходность рыночного портфеля. - ( \sigma_m ) — стандартное отклонение рыночного портфеля. - ( \sigma_c ) — стандартное отклонение портфеля на CML.

Коэффициент Шарпа

Коэффициент Шарпа является показателем доходности, скорректированной с учетом риска, и рассчитывается как:

[ \text{Коэффициент Шарпа} = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p} ]

Портфель, который максимизирует коэффициент Шарпа, представляет собой портфель касания на границе эффективности и лежит на линии рынка капитала. Этот портфель предлагает самую высокую избыточную доходность на единицу риска и считается оптимальным выбором для инвесторов.

Практическое применение

Фирмы по управлению активами

Многие фирмы по управлению активами используют принципы границы среднего и отклонения для построения инвестиционных портфелей и управления ими. Например, BlackRock ( и Vanguard () предлагают различные фонды и инвестиционные продукты, предназначенные для достижения эффективных профилей риска и доходности на основе современной теории портфеля.

Робо-советники

Робо-советники — это автоматизированные платформы, которые используют алгоритмы для предоставления инвестиционных консультаций и услуг по управлению портфелем. Такие компании, как Betterment ( и Wealthfront (), используют границу средней дисперсии для создания диверсифицированных портфелей с учетом рисковых предпочтений отдельных инвесторов и финансовые цели

Ограничения и критика

Хотя граница средней дисперсии является мощным инструментом, она имеет несколько ограничений и подвергается различной критике:

Предположения

Модель опирается на несколько упрощающих допущений, включая нормальное распределение доходности, стабильные корреляции и наличие безрискового актива. часто демонстрируют необычные характеристики, такие как асимметрия и эксцесс, а корреляции могут меняться со временем, особенно во время рыночных кризисов.

Чувствительность входных данных.

Граница средней дисперсии очень чувствительна к используемым исходным данным, особенно к ожидаемой доходности и ковариациям. Небольшие изменения в этих исходных данных могут привести к значительному изменению распределения портфеля. Эта чувствительность делает модель уязвимой к ошибкам оценки и может привести к неоптимальному выбору портфеля.

Чрезмерное упрощение

Модель предполагает, что инвесторов интересуют только средние значения и отклонения доходности, игнорируя другие факторы, такие как более высокие моменты, ликвидность и транзакционные издержки. У инвесторов могут быть сложные предпочтения, которые не полностью отражаются парадигмой среднего отклонения.

Расширения и усовершенствования

Чтобы устранить некоторые ограничения границы средней дисперсии, были разработаны различные расширения и усовершенствования:

Условное значение под угрозой (CVaR)

CVaR, также известное как ожидаемый дефицит, представляет собой меру риска, учитывающую хвостовой риск портфеля. Он обеспечивает более полное представление о риске, фокусируясь на потенциальных потерях в экстремальных сценариях. Оптимизация портфелей на основе CVaR может привести к более устойчивым результатам, особенно во время рыночных спадов.

Модель Блэка-Литтермана

Модель Блэка-Литтермана сочетает в себе рыночное равновесие с мнениями инвесторов для получения более стабильных и реалистичных ожидаемых доходов. Этот подход снижает чувствительность границы средней дисперсии к входным оценкам и обеспечивает основу для включения субъективных взглядов в процесс оптимизации.

Многофакторные модели

Многофакторные модели, такие как трехфакторная модель Фамы-Френча и четырехфакторная модель Кархарта, расширяют традиционную структуру среднего отклонения за счет включения нескольких факторов риска. Эти модели обеспечивают более глубокое понимание факторов доходности и позволяют более сложно строить портфель.

Заключение

Граница средней дисперсии остается краеугольным камнем современной портфельной теории и количественного финансирования. Несмотря на свои ограничения, он дает ценную информацию о взаимосвязи между риском и доходностью и служит основой для различных методов оптимизации портфеля. Понимание и применение принципов границы среднего отклонения может помочь инвесторам принимать более обоснованные и эффективные инвестиционные решения.