Портфель средней дисперсии

Теория портфеля средней дисперсии, представленная Гарри Марковицем в его основополагающей статье «Выбор портфеля», опубликованной в 1952 году, представляет собой математическую основу для построения инвестиционного портфеля таким образом, чтобы для данного уровня ожидаемой доходности риск (дисперсия) минимизировался или, что эквивалентно, для данного уровня риска ожидаемая доходность максимизировалась. Эта теория положила начало современной портфельной теории (МПТ).

Ключевые понятия

  1. Ожидаемая доходность: средняя доходность актива или портфеля, основанная на исторических данных или прогнозах аналитиков. Если ( r_i ) представляет собой доходность актива ( i ) и ( p_i ) вероятность такого дохода, ожидаемый доход ( E(R) ) рассчитывается как:

[ E(R) = \sum_{i} p_i \cdot r_i ]

  1. Дисперсия и ковариация: Дисперсия измеряет дисперсию доходности вокруг их означает, представляющий риск. Для двух активов ковариация показывает, как их доходы движутся вместе, и это имеет решающее значение для расчета риска портфеля. Математически:

[ \text{Var}(R) = \sigma^2 = \sum_{i} p_i (r_i - E(R))^2 ]

[ \text{Cov}(R_A, R_B) = \sum_{i} p_i (r_A - E(R_A))(r_B - E(R_B)) ]

  1. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля: Для портфеля, состоящего из ( n ) активов, ожидаемая доходность представляет собой взвешенную сумму отдельных ожидаемых доходностей:

[ E(R_p) = \sum_{i=1}^n w_i E(R_i) ]

Отклонение портфеля, которое принимает с учетом ковариаций между доходностью активов:

[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j) ]

Где ( w_i ) указывает вес актива ( i ) в портфеле.

  1. Граница эффективности: графическое представление набора портфелей, которые обеспечивают наивысшую ожидаемую доходность при определенном уровне риска. Портфели на границе эффективности считаются оптимальными. Граница эффективности обычно изображается на графике зависимости доходности портфеля (ось Y) от риска (ось X).

  2. Линия рынка капитала (CML): когда в состав портфеля вводится безрисковый актив, можно получить линию рынка капитала, которая представляет собой портфели, оптимально сочетающие безрисковые активы с рыночным портфелем.

[ E(R_p) = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m} \sigma_p ]

Где ( R_f ) — безрисковая ставка, ( E(R_m) ) — ожидаемая доходность рыночного портфеля, а ( \sigma_m ) — стандартное отклонение рыночной доходности.

  1. Коэффициент Шарпа: индекс, измеряющий избыточную доходность на единицу риска инвестиций. Он рассчитывается как:

[ \text{Коэффициент Шарпа} = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p} ]

Процесс оптимизации

Процесс оптимизации среднего отклонения включает следующие шаги:

  1. Определение входных оценок: определение ожидаемой доходности, отклонений и ковариаций для всех активов в портфеле. 2. Создание портфелей. Создайте набор портфелей с разным весом. 3. Рассчитать доходность и риск портфеля. Для каждого портфеля рассчитайте ожидаемую доходность и риск. 4. Серия эффективных портфелей. Определите портфели, находящиеся на границе эффективности. 5. Выберите оптимальный портфель: выберите оптимальный портфель на основе предпочтений инвестора в отношении риска и доходности, который максимизирует коэффициент Шарпа.

Применение и последствия

  1. Построение портфеля. Эта теория широко используется при построении диверсифицированных инвестиционных портфелей для взаимных фондов, хедж-фондов, пенсионных фондов и т. д. Такие компании, как BlackRock и Vanguard, используют расширенные версии MVT в своих стратегиях управления портфелем.

  2. Управление рисками: анализ среднего отклонения помогает инвесторам понять компромисс между риском и доходностью, что позволяет им принимать более эффективные решения по управлению рисками.

  3. Пассивное и активное управление: MVT имеет значение в дебатах между активным и пассивным управлением портфелем. Он обеспечивает основу для развития индексных фондов и биржевых фондов (ETF).

Критика и ограничения

  1. Предположение о нормальности: Предполагается, что доходность подчиняется нормальному распределению, которое может не соответствовать действительности на реальных рынках. 2. Оценка параметров. Точная оценка ожидаемой доходности, дисперсий и ковариаций является сложной задачей. 3. Меняющаяся динамика. Рыночные условия динамичны, и исторические данные не могут точно предсказать будущие результаты. 4. Транзакционные издержки и налоги: MVT не учитывает транзакционные издержки и налоги, которые имеют большое значение в реальном инвестировании.

Достижения и расширения

  1. Постмодернистская портфельная теория (PMPT): расширяет возможности MPT, устраняя ее ограничения, рассматривая более реалистичные предположения о распределении доходности и подчеркивая риск ухудшения ситуации.

  2. Модель Блэка-Литтермана: усовершенствованная модель построения портфеля, которая учитывает мнения инвесторов в ковариационной структуре доходности.

  3. Надежная оптимизация портфеля: попытки создать портфели, менее чувствительные к ошибкам во входных оценках, что повышает стабильность инвестиционных решений.

  4. Машинное обучение в управлении портфелем. Такие компании, как AQR Capital Management, используют методы машинного обучения для улучшения оценки параметров модели и включения нелинейных связей между доходностью активов.

В заключение, теория портфеля средней дисперсии является краеугольным камнем современных финансов, обеспечивая систематический и количественный подход к построению портфеля и управлению им. Несмотря на свои ограничения, он остается фундаментальным инструментом для инвесторов, стремящихся оптимизировать характеристики риска и доходности своих инвестиционных портфелей.