Модель Мертона

Модель Мертона, разработанная Робертом К. Мертоном в 1974 году, является фундаментальным инструментом в области финансовой экономики, используемым для моделирования кредитного риска долга компании. Эта модель носит структурный характер и сочетает в себе элементы финансов компании со стохастическим расчетом для определения вероятности дефолта фирмы по своим долговым обязательствам.

Обзор

Модель Мертона использует принципы теории ценообразования опционов, в частности модель Блэка-Шоулза, для оценки риска дефолта, связанного с корпоративным долгом. Он рассматривает капитал фирмы как опцион на покупку ее активов, при этом дефолт фирмы наступает, если стоимость ее активов падает ниже номинальной стоимости долга при погашении.

Ключевые предположения

Общая стоимость фирмы: стоимость активов фирмы следует геометрическому броуновскому движению, то есть ее можно смоделировать с помощью стохастического дифференциального уравнения. 2. Структура долга: Компания выпускает единый класс долговых обязательств с нулевым купоном, срок погашения которых наступает в момент T. 3. Полнота рынка: на рынках нет трений, что означает отсутствие транзакционных издержек или налогов, а активами можно торговать непрерывно. 4. Безрисковая ставка: Безрисковая процентная ставка остается постоянной в течение периода. 5. Капитал фирмы: рассматривается как опцион колл в европейском стиле на активы фирмы с ценой исполнения, эквивалентной номинальной стоимости долга.

Математическая формулировка

Учитывая эти предположения, модель Мертона определяет стоимость собственного капитала фирмы как: [ E = A_0 \cdot N(d_1) - e^{-rT} \cdot D \cdot N(d_2) ] Где: - (E) — рыночная стоимость собственного капитала фирмы. - (A_0) — текущая стоимость активов фирмы. - (D) — номинальная стоимость долга фирмы. - (r) — безрисковая ставка. - (Т) — срок погашения долга. - (N(.)) — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения.

Условия (d_1) и (d_2) рассчитываются как: [ d_1 = \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{A_0}{D} \right) + \left( r + \frac{\sigma^2}{2} \right) T \right) ] [ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} ] где ( \sigma ) представляет волатильность активов фирмы.

Вероятность дефолта

Модель также позволяет рассчитать вероятность того, что фирма объявит дефолт по своему долгу: [ P(\text{default}) = 1 - N(d_2) ]

Приложения

Моделирование кредитного риска: Помогает финансовым учреждениям количественно оценить кредитный риск, связанный с корпоративной задолженностью. 2. Корпоративные финансы: помогают компаниям понять влияние структуры их капитала на стоимость акционерного капитала и риск дефолта. 3. Управление рисками. Получает полезную информацию для управления рисками портфелей, содержащих корпоративные облигации или долговые инструменты. 4. Практика регулирования: Внедряет модели в нормативно-правовую базу для обеспечения финансовой стабильности.

Преимущества и ограничения

Преимущества

Теоретическая основа: основана на прочной теоретической базе моделей ценообразования опционов. - Информативно: дает четкое представление о взаимосвязи между стоимостью активов, стоимостью долга и стоимостью собственного капитала. - Количественный показатель: позволяет количественно измерить кредитный риск с использованием рыночных данных.

Ограничения

Упрощающие допущения: Включает допущения, которые могут не выполняться в условиях реального рынка, таких как свободные рынки и постоянные процентные ставки. - Выпуск одного долга: предполагается, что у фирмы есть только один класс долга, который может не отражать фактическую структуру долга. - Рыночная ликвидность: предполагает непрерывную торговлю, что не всегда возможно.

Расширения и современное использование

Современные адаптации модели Мертона расширили ее применение к более сложным структурам капитала и множественным срокам погашения долга. Кроме того, эта модель вдохновила на разработку более совершенных структурных моделей и инструментов коммерческого кредитного риска, таких как модель KMV от Moody’s Analytics.

Заключение

Модель Мертона остается краеугольным камнем моделирования кредитного риска, ценимая за ее теоретическую строгость и практическое применение. Несмотря на свои ограничения, он обеспечивает основополагающий подход для ученых, практиков и финансовых учреждений, занимающихся оценкой и управлением кредитным риском.

Для получения более подробной информации и применения модели Мертона вы можете обратиться к ресурсам, предоставленным финансовыми учреждениями, или научным публикациям по моделированию кредитного риска.