Нейтральный риск

На финансовых рынках концепция “нейтральный риск” играет значительную роль как в теоретических, так и в практических аспектах финансов, особенно при оценке производных финансовых инструментов. Эта концепция упрощает математическое моделирование цен активов и позволяет упростить расчет цен опционов с использованием моделей, таких как модель Блэка-Шоулза. Нейтральная к риску мера может рассматриваться как вероятностная мера, при которой приведенная стоимость всех денежных потоков при дисконтировании по безрисковой ставке равна текущим рыночным ценам активов.

Определение нейтрального риска

“Нейтральный к риску” относится к позиции или рыночной мере, при которой инвестор безразличен к риску при принятии инвестиционного решения. Это означает, что инвестор с позиции нейтральности к риску не требует дополнительной компенсации за принятие дополнительного риска. Вместо этого инвестор оценивает денежные потоки исключительно на основе их ожидаемых значений, дисконтированных по безрисковой ставке, без учета премии за риск.

Нейтральная к риску мера

Нейтральная к риску мера - это вероятностная мера, при которой текущая цена любого актива эквивалентна ожидаемой приведенной стоимости будущих выплат, дисконтированной по безрисковой ставке. При такой мере все инвесторы считаются безразличными к риску и сосредоточены на ожидаемых доходах, а не на изменчивости этих доходов.

Свойство мартингала

При нейтральной к риску мере дисконтированные цены активов следуют процессу мартингала. Это означает, что ожидаемая будущая цена актива после дисконтирования по безрисковой ставке равна его текущей цене. Математически, если S(t) - цена актива в момент времени t, а r - безрисковая ставка, то при нейтральной к риску мере Q:

E_Q[S(t+1)e^{-r(t+1)} F_t] = S(t)e^{-rt}

Это свойство является ключевым при оценке производных ценных бумаг.

Применение в финансовых моделях

Модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза, одна из наиболее известных моделей для оценки опционов, в основе своей опирается на концепцию нейтральности к риску. При выведении формулы Блэка-Шоулза предполагается, что цена базового актива следует геометрическому броуновскому движению при нейтральной к риску мере. Это позволяет упростить дифференциальное уравнение, описывающее цену опциона.

Формула Блэка-Шоулза для европейского опциона колл задается следующим образом:

C = S_0 Φ(d_1) - Ke^{-rT} Φ(d_2)

Где:

d_1 = (ln(S_0/K) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d_2 = d_1 - σ√T

Функция плотности вероятности нейтрального к риску

Функция плотности вероятности (PDF) нейтральной к риску цены актива в будущую дату используется для оценки различных экзотических опционов и других сложных производных инструментов. Эта функция плотности представляет распределение вероятности возможных будущих цен актива при нейтральной к риску мере.

Теорема Джирсанова

Теорема Джирсанова критична для трансформации реального мира в нейтральную к риску меру. Эта теорема утверждает, что при определенных условиях возможно изменить вероятностную меру так, чтобы броуновское движение, управляющее ценами активов при исходной мере, стало броуновским движением при новой мере с различным дрейфом, отражающим безрисковую ставку вместо исходного дрейфа.

Практические последствия для торговли и финансов

Оценка производных

Основное следствие нейтральной к риску оценки состоит в том, что она позволяет трейдерам и аналитикам оценивать производные инструменты, такие как опционы, фьючерсы и другие условные требования, согласованным и управляемым образом. Используя безрисковую ставку в качестве дисконтного множителя и рассчитывая ожидаемое значение будущих выплат, удается избежать сложности, вытекающей из предпочтений к риску.

Стратегии хеджирования

Стратегии хеджирования часто опираются на нейтральную к риску меру, чтобы обеспечить самофинансирующийся портфель. Репликация выплат опционов и конструирование хеджированных портфелей используют принцип того, что при нейтральной к риску мере дисконтированные цены активов следуют процессу мартингала.

Финансовая инженерия и структурированные продукты

Нейтральность к риску является фундаментальной при создании и оценке структурированных финансовых продуктов. Продукты такие как обеспеченные долговые обязательства (CDO), ценные бумаги, обеспеченные ипотеками (MBS), и другие сложные финансовые инструменты, оцениваются с использованием нейтрального к риску подхода, чтобы убедиться, что дисконтированные ожидаемые выплаты соответствуют текущим рыночным ценам.

Вызовы и критика

Динамика реального рынка

Одна из основных критик нейтрального к риску подхода состоит в том, что он часто упрощает реальную динамику рынка. На самом деле инвесторы проявляют неприятие риска, требуя дополнительной компенсации за принятие риска, что не отражается в нейтральном к риску подходе.

Оценка параметров

Оценка необходимых параметров для моделей типа Блэка-Шоулза при нейтральной к риску мере может быть сложной задачей. Параметры, такие как волатильность и безрисковая ставка, должны быть точно оценены, и любые ошибки могут привести к значительным расхождениям в оценке опционов.

Предположение о непрерывной торговле

Многие модели, основанные на нейтральности к риску, предполагают непрерывную торговлю и отсутствие транзакционных издержек, что не соответствует действительности на реальных рынках. Дискретные торговые интервалы и наличие транзакционных издержек могут привести к отклонениям от теоретических цен, полученных с использованием нейтральных к риску мер.

Заключение

В целом концепция нейтральности к риску является центральной для современной финансовой теории и практики. Она предоставляет мощный инструмент для оценки производных инструментов и других финансовых активов, предполагая, что инвесторы безразличны к риску. Хотя это упрощает многие аспекты оценки активов и оценки производных, оно также имеет ограничения и предположения, которые могут не всегда выполняться на реальных рынках. Понимание последствий и применения нейтральности к риску является существенным для трейдеров, финансовых инженеров и исследователей, занятых в оценке и управлении финансовыми активами.