Нормальное распределение

Нормальное распределение, также известное как гауссово распределение, является непрерывным вероятностным распределением, которое симметрично относительно своего среднего значения, описывая данные, которые группируются вокруг среднего значения. Оно характеризуется своей колоколообразной кривой и определяется математически двумя параметрами: средним значением (μ) и стандартным отклонением (σ). Это распределение играет решающую роль в различных областях, включая торговлю, где оно используется для моделирования и анализа поведения цен активов.

Ключевые характеристики

Симметрия: Нормальное распределение абсолютно симметрично относительно своего среднего значения, что означает, что половина значений лежит ниже среднего, а половина - выше него.
Среднее, медиана и мода: В нормальном распределении среднее, медиана и мода все равны и расположены в центре распределения.
Стандартное отклонение: Стандартное отклонение определяет дисперсию или разброс распределения. Меньшее стандартное отклонение указывает на то, что точки данных близки к среднему значению, в то время как большее стандартное отклонение указывает на то, что точки данных распределены по более широкому диапазону значений.
Правило 68-95-99.7 (эмпирическое правило): Приблизительно 68% данных в нормальном распределении попадает в пределы одного стандартного отклонения от среднего значения, около 95% попадает в пределы двух стандартных отклонений, и около 99,7% попадает в пределы трех стандартных отклонений.

Важность в торговле

Управление рисками

В торговле нормальное распределение широко используется в управлении рисками для моделирования потенциальных будущих результатов:

Стоимость под риском (VaR): VaR - это статистическая техника, используемая для измерения риска потери по портфелю. Используя нормальное распределение, трейдеры могут оценить вероятность того, что портфель испытает потерю выше определенного порога.
Ожидаемый дефицит: В то время как VaR дает пороговое значение, ожидаемый дефицит предоставляет среднее значение потерь, превышающих этот порог, предлагая более комплексный взгляд на хвостовой риск, который является риском экстремальных ценовых движений.

Модели ценообразования

Несколько моделей ценообразования в торговле предполагают, что доходности распределены нормально:

Модель Блэка-Шоулза: Эта модель, используемая для ценообразования европейских опционов, полагается на предположение, что доходности базового актива следуют нормальному распределению. Модель рассчитывает цену опциона путем дисконтирования ожидаемой выплаты при погашении под риск-нейтральной мерой.
Современная теория портфеля (MPT): Разработанная Гарри Марковицем, MPT использует нормальное распределение для оценки ожидаемой доходности и риска портфеля активов. Рассматривая среднее значение и дисперсию (квадрат стандартного отклонения), MPT помогает в построении оптимального портфеля, который максимизирует доходность для заданного уровня риска.

Статистический арбитраж

Стратегии статистического арбитража часто полагаются на предположение, что доходности активов распределены нормально. Эти стратегии используют статистические методы для выявления неправильного ценообразования между связанными активами и выполнения сделок для извлечения прибыли из этих неэффективностей. Понимая и используя свойства нормального распределения, трейдеры могут разрабатывать стратегии для эксплуатации краткосрочных ценовых расхождений.

Технический анализ

В техническом анализе нормальное распределение используется для создания полос Боллинджера, популярного технического индикатора:

Полосы Боллинджера: Эти полосы состоят из скользящего среднего (обычно 20-дневного простого скользящего среднего) и двух стандартных отклонений, нанесенных выше и ниже скользящего среднего.
- Когда цена актива движется к верхней полосе, это часто считается перекупленностью, указывая на потенциальный сигнал продажи.
- Напротив, когда цена движется к нижней полосе, это считается перепроданностью, указывая на потенциальный сигнал покупки.

Ограничения в реальной торговле

Толстые хвосты и эксцесс

Хотя нормальное распределение является удобной математической моделью, доходности активов в реальном мире часто демонстрируют “толстые хвосты” или избыточный эксцесс, что означает, что экстремальные события (большие ценовые движения) более вероятны, чем прогнозирует нормальное распределение. Это расхождение может привести к недооценке риска редких, катастрофических рыночных событий.

Ненормальность доходностей

Финансовые доходности часто асимметричны и не следуют идеально нормальному распределению. Асимметрия относится к асимметрии в распределении, где доходности могут отклоняться больше в одном направлении, чем в другом. В таких случаях полагаться только на нормальное распределение может привести к неточным оценкам рисков и неоптимальным торговым решениям.

Кластеризация волатильности

Доходности активов часто демонстрируют кластеризацию волатильности, где периоды высокой волатильности сменяются еще большей высокой волатильностью, а периоды низкой волатильности сменяются еще большей низкой волатильностью. Это явление противоречит предположению о постоянной волатильности в нормальном распределении:

Модели ARCH/GARCH: Для решения кластеризации волатильности трейдеры используют модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) и обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH), которые позволяют изменение волатильности во времени.

Альтернативы нормальному распределению

Учитывая эти ограничения, трейдеры и менеджеры рисков также рассматривают альтернативные распределения, которые лучше захватывают характеристики доходностей активов:

Логнормальное распределение: Это распределение предполагает, что логарифм доходностей, а не сами доходности, распределен нормально. Оно предотвращает отрицательные цены, что подходит для моделирования цен акций.
Распределение Стьюдента: Это распределение имеет более тяжелые хвосты, чем нормальное распределение, обеспечивая лучшую подгонку для больших ценовых движений, наблюдаемых на финансовых рынках.
Устойчивые распределения: Эти распределения, такие как распределение Леви, могут моделировать тяжелые хвосты и асимметрию, наблюдаемые в финансовых данных, при этом учитывая самоподобные свойства на разных временных масштабах.

Заключение

Нормальное распределение является фундаментальным статистическим инструментом в торговле, предоставляя рамки для управления рисками, ценообразования, статистического арбитража и технического анализа. Хотя оно предлагает значительные инсайты, трейдеры должны осознавать его ограничения и рассматривать альтернативные модели для лучшего захвата истинного поведения цен активов на финансовых рынках.

Понимание свойств нормального распределения и того, когда применять альтернативные модели, позволяет трейдерам принимать более обоснованные решения, улучшая управление рисками и усиливая торговые стратегии в сложных финансовых средах.