Оптимальный размер ставки по Келли

Введение

Оптимальный размер ставки по Келли, также известный просто как критерий Келли, представляет собой формулу, определяющую оптимальный размер серии ставок, который максимизирует темп роста капитала с течением времени. Он был представлен Джоном Ларри Келли-младшим в статье 1956 года под названием “Новая интерпретация скорости передачи информации” и с тех пор стал центральной концепцией в области азартных игр, инвестирования и трейдинга.

Формула критерия Келли

Базовая формула критерия Келли может быть выражена как: [ f^* = \frac{bp - q}{b} ]

Где:

( f^* ) - доля текущего банкролла для ставки.
( b ) - кратность суммы ставки, которая будет выиграна.
( p ) - вероятность выигрыша.
( q ) - вероятность проигрыша, равная ( 1 - p ).

В более практических сценариях, особенно в финансах, формула может быть скорректирована для непрерывных переменных и других факторов, но основной принцип остаётся в расчёте оптимального размера ставки для максимизации логарифмического роста капитала с учётом как потенциала роста, так и риска снижения.

Применение в алгоритмической торговле

Алгоритмическая торговля использует вычислительные алгоритмы для принятия торговых решений. Включение критерия Келли в стратегию алгоритмической торговли может привести к лучшему управлению рисками и оптимизированной доходности. Вот как это применяется:

Определение вероятности выигрыша и соотношения прибыли/убытка: Вероятность выигрыша (p) и соотношение прибыли/убытка (b) определяются из исторических торговых данных. Это включает бэктестинг торговых стратегий для нахождения процента успешных сделок и среднего коэффициента выплат.
Расчёт размера ставки: Используя формулу Келли, трейдеры рассчитывают оптимальную долю своего капитала для выделения на каждую сделку. Это гарантирует, что сделки не будут ни слишком маленькими (что приводит к недоиспользованию капитала), ни слишком большими (что приводит к чрезмерному риску).
Динамическая корректировка: По мере поступления новых данных и изменения вероятностей выигрыша и коэффициентов выплат размер ставки по критерию Келли пересчитывается, позволяя динамически корректировать торговые позиции.

Практические соображения

Преимущества

Максимизация роста: Критерий Келли теоретически максимизирует темп роста капитала в долгосрочной перспективе.
Управление рисками: Учитывая как вероятности, так и выплаты, критерий помогает трейдерам более эффективно управлять рисками.

Недостатки

Ошибки оценки: Точность критерия Келли зависит от точности входных вероятностей и выплат. Ошибки в оценке могут привести к субоптимальному размеру ставок.
Волатильность: Ставки по Келли могут привести к высокой волатильности стоимости счёта, поскольку они часто предлагают более агрессивные позиции, чем стратегии ставок с фиксированной долей.
Риски чрезмерных ставок: При неправильном использовании, особенно с высоковолатильными активами, критерий может предлагать слишком большие размеры ставок, потенциально приводящие к значительным просадкам.

Дробный Келли

Для смягчения некоторых недостатков трейдеры иногда используют подход дробного Келли, где используется только часть оптимального размера ставки по Келли. Например, 50% Келли означает ставку в половину от рекомендуемой Келли суммы. Это снижает волатильность и риск больших просадок.

Пример расчёта

Рассмотрим простой гипотетический торговый сценарий:

Вероятность выигрыша (p): 0.6
Коэффициент выплаты (b): 2 (т.е. при ставке $1 выигрывается $2)
Вероятность проигрыша (q): 0.4

Используя формулу Келли: [ f^* = \frac{(2)(0.6) - 0.4}{2} ] [ f^* = \frac{1.2 - 0.4}{2} ] [ f^* = \frac{0.8}{2} ] [ f^* = 0.4 ]

Таким образом, оптимальный размер ставки составит 40% от текущего банкролла.

Реализация на Python

Ниже представлена простая реализация критерия Келли для торговли на Python:

def kelly_criterion(win_probability, payoff_ratio):
    loss_probability = 1 - win_probability
    return (payoff_ratio * win_probability - loss_probability) / payoff_ratio

# Примеры параметров
win_probability = 0.6
payoff_ratio = 2

optimal_bet_size = kelly_criterion(win_probability, payoff_ratio)
print(f"Оптимальный размер ставки: {optimal_bet_size * 100:.2f}% от банкролла")

Этот код выведет:

Оптимальный размер ставки: 40.00% от банкролла

Примеры из реального мира и компании

Renaissance Technologies

Renaissance Technologies - это компания по управлению хедж-фондом, которая использует количественные модели, основанные на математических и статистических методах. Основанная Джимом Саймонсом, Renaissance Technologies является одним из пионеров алгоритмической торговли и, по слухам, использует принципы, аналогичные критерию Келли, для оптимизации своих торговых стратегий.

Two Sigma

Two Sigma - ещё один крупный игрок в сфере алгоритмической торговли, использующий крупномасштабный анализ данных, передовые технологии и математические модели. Стратегии Two Sigma включают сложные техники управления рисками, которые, вероятно, используют принципы критерия Келли.

Citadel

Citadel, основанная Кеном Гриффином, является глобальным финансовым институтом, специализирующимся на количественной торговле и математических моделях. Компания использует различные продвинутые тактики управления рисками, которые могут включать оптимальный размер ставки по Келли для эффективного распределения капитала.

Заключение

Критерий Келли предлагает математически обоснованный метод определения оптимального размера ставки в торговле, максимизируя долгосрочный рост при учёте риска. Несмотря на теоретические преимущества, практическая реализация требует тщательного рассмотрения из-за потенциальной волатильности и необходимости точных входных оценок. Разумно применяя критерий Келли, трейдеры могут улучшить свои стратегии управления рисками и распределения капитала, способствуя более стабильной долгосрочной эффективности в волатильном мире финансовых рынков.