Регрессия в финансах и торговле

Регрессионный анализ — это статистический инструмент, который исследует взаимосвязь между двумя или более переменными. Он широко используется в сферах финансов и торговли для моделирования и анализа взаимосвязей между различными ценами активов или экономическими индикаторами. Его основная цель — понять, как изменяется зависимая переменная при изменении какой-либо одной из независимых переменных, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными.

Типы регрессии

1. Простая линейная регрессия

Простая линейная регрессия включает единственную переменную-предиктор и обычно используется, когда существует прямолинейная взаимосвязь между независимой переменной (X) и зависимой переменной (Y). Взаимосвязь может быть описана как:

[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon ]

Где:

• (Y) — зависимая переменная.
• (X) — независимая переменная.
• (\beta_0) — пересечение по оси y.
• (\beta_1) — наклон линии.
• (\epsilon) — случайный член ошибки.

Пример в торговле

Предположим, вы хотите предсказать будущие цены акции на основе ее исторических цен. Историческая цена — ваша независимая переменная (X), а будущая цена — ваша зависимая переменная (Y).

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Создание dataframe с историческими ценами
data = pd.DataFrame{
    'Historical_Price': [100, 101, 102, 103, 104],
    'Future_Price': [101, 102, 103, 104, 105]
})

# Подгонка модели
X = data['Historical_Price']
y = data['Future_Price']
X = sm.add_constant(X)  # Добавляет константный член к предиктору
model = sm.OLS(y, X).fit()

# Прогнозы
predictions = model.predict(X)
print(predictions)

2. Множественная линейная регрессия

Множественная линейная регрессия включает две или более переменных-предикторов. Взаимосвязь может быть описана как:

[ Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \ldots + \beta_pX_p + \epsilon ]

Где:

• (X_1, X_2, \ldots, X_p) — переменные-предикторы.

Пример в торговле

Прогнозирование будущих цен акции на основе нескольких факторов, таких как исторические цены, объем и рыночные индексы.

# Создание dataframe с несколькими факторами
data = pd.DataFrame{
    'Historical_Price': [100, 101, 102, 103, 104],
    'Volume': [2000, 2200, 2100, 2300, 2400],
    'Market_Index': [1500, 1520, 1510, 1530, 1540],
    'Future_Price': [101, 102, 103, 104, 105]
})

# Подгонка модели
X = data[['Historical_Price', 'Volume', 'Market_Index']]
y = data['Future_Price']
X = sm.add_constant(X)  # Добавляет константный член к предиктору
model = sm.OLS(y, X).fit()

# Прогнозы
predictions = model.predict(X)
print(predictions)

3. Полиномиальная регрессия

Когда взаимосвязь между независимой переменной и зависимой переменной нелинейна, можно использовать полиномиальную регрессию. Взаимосвязь может быть описана как:

[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + \beta_3X^3 + \ldots + \beta_dX^d + \epsilon ]

Где:

• (d) — степень полинома.

Пример в торговле

Прогнозирование будущих цен акции, где цена может иметь квадратичную или кубическую взаимосвязь с независимыми переменными.

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Создание dataframe
data = pd.DataFrame{
    'Historical_Price': [100, 101, 102, 103, 104],
    'Future_Price': [101, 102, 103, 104, 105]
})

# Подготовка полиномиальных признаков
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
X_poly = poly.fit_transform(data[['Historical_Price']])

# Подгонка модели
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_poly, data['Future_Price'])

# Прогнозы
predictions = lin_reg.predict(X_poly)
print(predictions)

Методы оценки точности модели

1. R-квадрат

R-квадрат — это статистическая мера, которая представляет долю дисперсии зависимой переменной, которая объясняется независимой переменной (переменными).

[ R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} ]

Где:

• (SS_{res}) — сумма квадратов остатков.
• (SS_{tot}) — общая сумма квадратов.

2. Скорректированный R-квадрат

Скорректированный R-квадрат корректирует значение R-квадрат на основе количества предикторов в модели. Он полезен при сравнении моделей с разным количеством предикторов.

[ \text{Скорректированный } R^2 = 1 - \frac{(1-R^2)(n-1)}{n-k-1} ]

Где:

• (n) — количество наблюдений.
• (k) — количество предикторов.

3. Среднеквадратическая ошибка (MSE)

Среднеквадратическая ошибка — это среднее значение квадратов ошибок. Ошибка — это величина, на которую наблюдаемое значение отличается от прогнозируемого значения.

[ MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y_i})^2 ]

Где:

• (n) — количество наблюдений.
• (y_i) — наблюдаемое значение.
• (\hat{y_i}) — прогнозируемое значение.

Методы регуляризации

1. Ридж-регрессия

Ридж-регрессия использует L2-регуляризацию для сжатия коэффициентов модели, что помогает предотвратить переобучение. Целевая функция:

[ \min_{\beta} | y - X\beta |^2_2 + \lambda | \beta |^2_2 ]

Где:

• (\lambda) — параметр регуляризации.

2. Лассо-регрессия

Лассо-регрессия использует L1-регуляризацию для наложения ограничения, при котором некоторые коэффициенты точно равны нулю, тем самым обеспечивая выбор признаков. Целевая функция:

[ \min_{\beta} | y - X\beta |^2_2 + \lambda | \beta |_1 ]

Пример ридж и лассо регрессии

from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso

# Генерация набора данных
data = pd.DataFrame{
    'Historical_Price': [100, 101, 102, 103, 104],
    'Volume': [2000, 2200, 2100, 2300, 2400],
    'Market_Index': [1500, 1520, 1510, 1530, 1540],
    'Future_Price': [101, 102, 103, 104, 105]
})

# Ридж-регрессия
ridge = Ridge(alpha=1.0)
ridge.fit(data[['Historical_Price', 'Volume', 'Market_Index']], data['Future_Price'])
ridge_predictions = ridge.predict(data[['Historical_Price', 'Volume', 'Market_Index']])
print('Прогнозы Ridge:', ridge_predictions)

# Лассо-регрессия
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(data[['Historical_Price', 'Volume', 'Market_Index']], data['Future_Price'])
lasso_predictions = lasso.predict(data[['Historical_Price', 'Volume', 'Market_Index']])
print('Прогнозы Lasso:', lasso_predictions)

Применение регрессии в финансах

1. Управление рисками

Регрессия широко используется в управлении рисками для моделирования взаимосвязи между доходностью портфеля и рыночными факторами. Например, модель оценки капитальных активов (CAPM) — это модель линейной регрессии, которая описывает взаимосвязь между ожидаемой доходностью акции и ее риском по сравнению с рынком.

2. Оценка стоимости

При оценке стоимости регрессионный анализ может помочь оценить стоимость компании путем анализа взаимосвязей между финансовыми показателями компании (такими как прибыль, выручка и денежный поток) и ее рыночной стоимостью.

3. Алгоритмическая торговля

В алгоритмической торговле модели регрессии используются для прогнозирования будущих ценовых движений на основе исторических данных. Коэффициенты модели регрессии могут помочь определить, насколько сильно различные факторы влияют на цену актива.

Компании, использующие регрессию в финансах

1. JPMorgan Chase

JPMorgan Chase использует продвинутые статистические модели, включая регрессионный анализ, для управления рисками, оптимизации портфеля и алгоритмической торговли.

2. Goldman Sachs

Goldman Sachs использует модели регрессии для анализа рыночных трендов, прогнозирования экономических условий и разработки торговых стратегий.

3. QuantConnect

QuantConnect — это платформа, которая предлагает инструменты для разработки стратегий алгоритмической торговли, часто включающих модели на основе регрессии в свой аналитический набор.

Заключение

Регрессионный анализ — это мощный инструмент в финансах и торговле, предоставляющий ценные идеи и помогающий моделировать сложные взаимосвязи между переменными. Будь то управление рисками, оценка стоимости или алгоритмическая торговля, понимание и применение принципов регрессии может значительно улучшить процессы принятия решений. По мере роста сложности финансовых рынков будет расти и важность и изощренность моделей на основе регрессии.