Эмпирическое правило

Эмпирическое правило, также известное как правило 68-95-99,7 или правило трёх сигм, — это статистический принцип, который утверждает, что для нормального распределения:

Это правило имеет важное значение в статистике и различных областях, включая финансы, психологию, контроль качества и естественные науки, благодаря его полезности в понимании распределения данных и формулировании выводов о параметрах генеральной совокупности на основе выборочных данных.

Определение

Эмпирическое правило относится к нормальным распределениям — типу непрерывного распределения вероятностей для случайной величины с действительными значениями. Нормальные распределения симметричны и имеют форму колокола, центрированы вокруг среднего, а их разброс определяется стандартным отклонением. Эмпирическое правило обеспечивает быструю оценку вероятности попадания случайной величины в определённые интервалы вокруг среднего.

Формула

Для нормального распределения со средним μ и стандартным отклонением σ эмпирическое правило можно обобщить следующим образом:

Математически это можно представить как:

[ P(\mu - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68 ]

[ P(\mu - 2σ \leq X \leq μ + 2σ) \approx 0.95 ]

[ P(\mu - 3σ \leq X \leq μ + 3σ) \approx 0.997 ]

Где ( X ) представляет значение нормально распределённой переменной.

Пример

Рассмотрим набор данных оценок студентов по математике, которые нормально распределены со средним (μ) 70 и стандартным отклонением (σ) 10. Используя эмпирическое правило:

Применение

В финансах

В финансах эмпирическое правило используется для оценки риска и доходности инвестиций. Портфельные менеджеры используют это правило для оценки процента доходности, которая может ожидаться в определённых диапазонах. Например, если доходность портфеля нормально распределена, а средняя доходность составляет 5% со стандартным отклонением 10%, эмпирическое правило может помочь оценить вероятность доходности в определённых диапазонах.

Контроль качества

Контроль качества в производственных процессах часто использует эмпирическое правило. Контрольные карты используют его для мониторинга производительности процесса. Если процесс находится под контролем и является нормальным, большая часть продукции будет находиться в пределах трёх стандартных отклонений от среднего. Значительное отклонение указывает на потенциальную проблему, требующую исследования.

В образовании

Педагогические психологи используют эмпирическое правило для интерпретации стандартизированных тестовых баллов. Эти баллы обычно нормально распределены, поэтому правило помогает определить долю студентов, попадающих в определённые категории успеваемости.

В здравоохранении

Специалисты здравоохранения применяют эмпирическое правило в эпидемиологии и общественном здравоохранении для изучения распространения заболеваний и оценки медицинских вмешательств. Например, правило может помочь понять распределение реакций пациентов на лечение.

Статистические выводы

Наконец, эмпирическое правило помогает в формулировании статистических выводов о генеральных совокупностях на основе выборочных данных. Понимая разброс выборочных данных вокруг среднего, можно делать прогнозы и принимать решения с использованием статистического вывода.

Заключение

Эмпирическое правило является фундаментальным принципом статистики, необходимым для анализа нормально распределённых данных. Оно обеспечивает основу для понимания изменчивости данных и принятия обоснованных решений в различных областях. Применяя эмпирическое правило, специалисты могут оценивать пропорции, оценивать риски и выявлять аномалии, что делает его критически важным инструментом в средах, основанных на данных.