Нейтральные к риску меры

В финансовой математике нейтральные к риску меры - это фундаментальная концепция, используемая для оценки финансовых производных и управления рисками. Нейтральная к риску мера, также известная как эквивалентная мартингальная мера, преобразует распределение вероятности будущих результатов таким образом, чтобы ожидаемый доход всех ценных бумаг равнялся безрисковой процентной ставке. Эта концепция имеет решающее значение для ценообразования без арбитража и формирует основу для многих финансовых моделей, включая модель Блэка-Шоулза и многие другие, используемые при оценке опционов, оценке фьючерсов и оценке ценных бумаг с фиксированным доходом.

Введение в нейтральные к риску меры

Определение

Нейтральная к риску мера - это вероятностная мера, при которой дисконтированные процессы цены всех торгуемых активов являются мартингалами. По сути, в этом отрегулированном мире инвесторы безразличны к риску; следовательно, они измеряют ожидаемый доход любой инвестиции как безрисковую ставку.

Математически, нейтральная к риску мера Q определяется на отфильтрованном вероятностном пространстве (Ω, F, P), где:

При Q дисконтированный процесс цены e^{-rt} S_t является мартингалом, где:

Важность в финансах

Нейтральные к риску меры критичны, потому что они упрощают оценку финансовых производных. Вместо оценки ожидаемых будущих денежных потоков с добавленной премией за риск (как делается в традиционных финансах), можно напрямую использовать безрисковую ставку для дисконтирования при нейтральной к риску мере. Этот процесс лежит в основе большинства современных методов вычислительного финансирования и моделей ценообразования производных.

Вывод нейтральной к риску меры

Теорема Джирсанова

Одним из ключевых инструментов вывода нейтральной к риску меры является теорема Джирсанова. Эта теорема позволяет изменить меру с реальной вероятности P на нейтральную к риску меру Q, облегчая более простые расчеты при ценообразовании производных.

Теорема

Учитывая вероятностное пространство (Ω, F, P) с фильтрацией { F_t }_{t ≥ 0}, пусть W_t - броуновское движение при P. Предположим, что существует процесс θ_t (адаптированный и достаточно интегрируемый) такой, что динамика W_t при P задается:

dW_t = dW_t^Q + θ_t dt

Тогда W_t^Q - это броуновское движение при новой мере Q, где

d Q / d P = exp(-∫_0^T θ_s dW_s - 1/2 ∫_0^T θ_s^2 ds)

Этот экспоненциальный член известен как производная Радона-Никодима, которая перевешивает вероятностную меру P к Q.

Свойство мартингала

Чтобы обеспечить, что дисконтированная цена актива e^{-rt} S_t является мартингалом при нейтральной к риску мере Q, проверяют:

E^Q[S_T F_t] = e^{r(T-t)} S_t

Это свойство обеспечивает, что нет возможностей арбитража - существенное условие для любой согласованной финансовой модели.

Использование при оценке производных

Модель Блэка-Шоулза

Одним из наиболее хорошо известных применений нейтральных к риску мер является модель Блэка-Шоулза. Уравнение Блэка-Шоулза предоставляет математическую модель для оценки европейских опционов и выводится с использованием принципа отсутствия арбитража и нейтральной к риску оценки.

Вывод с использованием нейтральной к риску меры

Предположим, цена акции S_t следует геометрическому броуновскому движению при реальной мере P:

dS_t = μ S_t dt + σ S_t dW_t

Применяя теорему Джирсанова при нейтральной к риску мере Q динамика цены акции становится:

dS_t = r S_t dt + σ S_t dW_t^Q

Здесь r - безрисковая ставка, а W_t^Q - броуновское движение при Q. Эта форма позволяет оценивать производные, обеспечивая, чтобы дрейфовый член был безрисковой ставкой r.

Уравнение в частных производных Блэка-Шоулза затем выводится путем установки портфеля, состоящего из опциона и базовой акции, обеспечивая, что он не подвергается риску и, следовательно, должен получать безрисковую ставку r. Решение этого PDE при соответствующих граничных условиях дает формулу ценообразования Блэка-Шоулза для европейских опционов колл и пут.

Другие финансовые модели

Нейтральные к риску меры также играют решающую роль в других моделях, включая биномиальную модель Кокса-Росса-Рубинштейна, основу Хита-Джарроу-Мортона для процентных ставок и различные модели стохастической волатильности, таких как модель Хестона.

Практические реализации и финтех

Алгоритмическая торговля

При алгоритмической торговле нейтральные к риску меры обеспечивают основу для разработки торговых стратегий, которые полагаются на ценообразование производных и хеджирование. Модели, откалиброванные при нейтральных к риску мерах, помогают количественно определить и управлять риском эффективно, позволяя автоматизированным торговым системам исполнять стратегии с точностью.

ФинТех инновации

Нейтральные к риску меры фундаментальны в различных ФинТек приложениях, особенно на платформах, предлагающих производные продукты, оценку цифровых активов и услуги робо-консультирования. Например, компании, такие как BlackRock и Goldman Sachs, используют продвинутые количественные модели, основанные на нейтральных к риску мерах, для управления активами и финансового консультирования.

Количественные финансы на практике

Количественные аналитики (куанты) используют нейтральные к риску меры для разработки и уточнения моделей ценообразования сложных финансовых производных, управления рисками портфеля и оптимизации распределения активов. Путем принятия основы нейтральности к риску куанты обеспечивают, что их модели свободны от арбитража и устойчивы в различных рыночных условиях.

Заключение

Нейтральные к риску меры являются неоценимыми в современных финансах, обеспечивая основу для оценки производных, управления финансовым риском и разработки сложных торговых стратегий. Путем трансформирования распределения вероятности в мир, нейтральный к риску, финансовые специалисты могут упростить сложные расчеты, обеспечивая, что их модели свободны от арбитража и согласованы с реальной финансовой динамикой. Понимание и применение нейтральных к риску мер является критическим для всех, кто занят в количественных финансах, алгоритмической торговле и ФинТек инновациях.