Математические финансы
Математические финансы, также известные как количественные финансы, — это область прикладной математики, связанная с финансовыми рынками. Они используют математические модели и вычислительные методы для анализа финансовых рынков, вывода моделей ценообразования, управления рисками и оптимизации портфелей. Ниже приведены некоторые критические области, охватываемые математическими финансами:
1. Финансовое моделирование
1.1 Модель Блэка-Шоулза
Модель Блэка-Шоулза является одной из самых известных математических моделей для ценообразования опционов и других финансовых деривативов. Она предоставляет теоретическую оценку цены опционов европейского типа и основана на нескольких предположениях, включая постоянную волатильность и логнормальное распределение цен акций.
Формула Блэка-Шоулза
[ C(S, t) = S_0N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2) ] Где:
- (d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})t}{\sigma\sqrt{t}})
- (d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{t})
- (N(\cdot)) — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения
- (S_0) — текущая цена акции
- (X) — цена исполнения
- (r) — безрисковая процентная ставка
- (\sigma) — волатильность акции
- (t) — время до истечения опциона
1.2 Биномиальная модель ценообразования опционов
Биномиальная модель ценообразования опционов — это еще одна модель дискретного времени для ценообразования опционов. В отличие от модели Блэка-Шоулза, она использует простое дерево возможных будущих цен акций, построенное итеративно. Эта модель особенно полезна для американских опционов, где держатель имеет право исполнить опцион в любое время до истечения.
Биномиальная формула
[ C = \frac{1}{(1+r)^t} \left[ pC_u + (1-p)C_d \right] ] Где:
- (p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d})
- (u) — фактор, на который увеличивается цена
- (d) — фактор, на который уменьшается цена
- (C_u) и (C_d) — значения опциона в соответствующих узлах
2. Управление рисками
2.1 Стоимость под риском (VaR)
Стоимость под риском — это статистический метод, используемый для измерения риска потери в портфеле. Эта мера оценивает потенциальную потерю в стоимости портфеля за определенный период для заданного доверительного интервала.
Формула VaR
[ \text{VaR} = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \cdot \sigma_P \cdot \sqrt{T} ] Где:
- (\Phi^{-1}) — обратная функция кумулятивного распределения стандартного нормального распределения
- (\alpha) — уровень доверия
- (\sigma_P) — стандартное отклонение портфеля
- (T) — временной горизонт
2.2 Условная стоимость под риском (CVaR)
Условная стоимость под риском, также известная как ожидаемый дефицит, является мерой риска, которая предоставляет среднее значение потерь, которые происходят за пределами порога VaR. Она считается более последовательной мерой риска по сравнению с VaR.
Формула CVaR
[ \text{CVaR} = \mathbb{E}[L | L \geq \text{VaR}] ] Где:
- (L) — распределение потерь
- (\mathbb{E}[\cdot]) обозначает ожидаемое значение
3. Оптимизация портфеля
3.1 Оптимизация среднего-дисперсии
Введенная Гарри Марковицем в 1952 году, оптимизация среднего-дисперсии — это количественный инструмент, используемый для построения портфелей, которые максимизируют доходность для заданного уровня риска. Эффективная граница представляет набор оптимальных портфелей.
Формула оптимизации среднего-дисперсии
[ \frac{\text{E}[R_P] - R_f}{\sigma_P} ] Где:
- (E[R_P]) — ожидаемая доходность портфеля
- (R_f) — безрисковая ставка
- (\sigma_P) — стандартное отклонение доходности портфеля
3.2 Модель ценообразования капитальных активов (CAPM)
CAPM — это модель, используемая для определения теоретической ожидаемой доходности актива на основе его систематического риска. Она широко используется для ценообразования рискованных ценных бумаг и расчета стоимости капитала.
Формула CAPM
[ E[R_i] = R_f + \beta_i (E[R_m] - R_f) ] Где:
- (E[R_i]) — ожидаемая доходность актива
- (R_f) — безрисковая ставка
- (\beta_i) — бета актива
- (E[R_m]) — ожидаемая доходность рынка
4. Анализ временных рядов
4.1 Авторегрессионная интегрированная скользящая средняя (ARIMA)
Модели ARIMA используются для понимания и прогнозирования будущих точек во временном ряде. Они особенно подходят для наборов данных с трендами и характеризуются параметрами p, d и q.
Модель ARIMA
[ ARIMA(p, d, q) ] Где:
- (p) — количество лаговых наблюдений, включенных в модель
- (d) — степень дифференцирования
- (q) — размер окна скользящей средней
4.2 Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (GARCH)
Модели GARCH используются для оценки волатильности доходности на финансовых рынках. Модель фиксирует изменяющуюся во времени волатильность, включая прошлые дисперсии и прошлые ошибки.
Модель GARCH
[ \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 ] Где:
- (\sigma_t^2) — условная дисперсия
- (\alpha_0), (\alpha_1), (\beta_1) — коэффициенты
- (\epsilon_{t-1}^2) — лаговый квадратный остаток
5. Стохастическое исчисление
5.1 Лемма Ито
Лемма Ито — это фундаментальный результат в стохастическом исчислении, который используется для определения дифференциала функции стохастического процесса. Она особенно полезна для ценообразования опционов.
Лемма Ито
Если (X_t) является функцией стохастического процесса (Y_t), то: [ dX_t = \left( \frac{\partial X}{\partial t} + \frac{\partial X}{\partial Y} \mu_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 X}{\partial Y^2} \sigma_t^2 \right) dt + \frac{\partial X}{\partial Y} \sigma_t dW_t ] Где:
- (\mu_t) и (\sigma_t) — дрейф и волатильность
- (dW_t) — процесс Винера
5.2 Мартингалы
Мартингал — это стохастический процесс, который представляет собой справедливую игру, где условное ожидание следующего значения, учитывая все предыдущие значения, равно текущему значению.
Определение мартингала
[ \mathbb{E}[X_{t+1} | \mathcal{F}_t] = X_t ] Где:
- (\mathcal{F}_t) — фильтрация или информация до времени (t)
- (X_t) — значение процесса в момент времени (t)
6. Вычислительные методы
6.1 Моделирование Монте-Карло
Моделирование Монте-Карло — это вычислительный алгоритм, который использует повторную случайную выборку для получения численных результатов. Он широко используется в финансах для моделирования вероятности различных результатов.
Шаги Монте-Карло:
- Определить область возможных входов
- Генерировать случайные входы
- Выполнять детерминированное вычисление на входах
- Агрегировать результаты
6.2 Методы конечных разностей
Методы конечных разностей — это численные методы решения дифференциальных уравнений путем их приближения разностными уравнениями. Они часто используются для решения PDE Блэка-Шоулза.
Схема конечных разностей:
- Явная схема
- Неявная схема
- Схема Кранка-Николсона
Компании и учреждения, специализирующиеся на математических финансах
6.1 Quantitative Brokers
Quantitative Brokers предоставляет передовые алгоритмы и аналитику для агентского исполнения и торговли. Их методологии глубоко укоренены в математических финансах и вычислительных методах.
6.2 WorldQuant
WorldQuant — это количественная инвестиционная компания, которая использует сложные математические модели для разработки торговых стратегий и управления портфелями.
6.3 Jane Street
Jane Street — торговая фирма и поставщик ликвидности с фокусом на использование передовых количественных методов для торговли на глобальных финансовых рынках.
6.4 Renaissance Technologies
Renaissance Technologies — это высоко известная количественная инвестиционная фирма, известная своим фондом Medallion, который использует сложные математические модели для торговых стратегий.
6.5 Two Sigma
Two Sigma — это ведущий количественный хедж-фонд, который использует науку о данных, машинное обучение и прикладную математику для разработки инвестиционных стратегий.
Заключение
Математические финансы — это обширная и сложная область, которая включает различные математические и вычислительные методы для решения проблем на финансовых рынках, таких как ценообразование, управление рисками и оптимизация портфеля. Она продолжает развиваться, движимая достижениями в вычислительной мощности и доступности обширных данных.