Регрессия опорных векторов (SVR)

Регрессия опорных векторов (SVR) является типом машины опорных векторов (SVM), специально разработанной для задач регрессии. Хотя SVM широко известна своим применением в задачах классификации, SVR расширяет базу SVM для прогнозирования непрерывных значений, что делает ее мощным инструментом регрессии в машинном обучении и науке о данных.

Основы регрессии опорных векторов

Основная идея SVR состоит в том, чтобы найти функцию, которая приблизительно отображает входное пространство в непрерывное выходное пространство, сохраняя допуск на отклонение (нечувствительная к эпсилону зона) вокруг предсказанной функции. SVR стремится минимизировать ошибку в этом диапазоне, игнорируя ошибки, превышающие этот порог, чтобы достичь баланса между недостаточным и чрезмерным подгонкой.

Математическое формулирование

Целевая функция

Основной целью SVR является минимизация следующей целевой функции:

[ \min_{\mathbf{w}, \xi, \xi^} \frac{1}{2} |\mathbf{w}|^2 + C \sum_{i=1}^{n} (\xi_i + \xi_i^) ]

При условии: [ y_i - (\mathbf{w} \cdot \phi(\mathbf{x}_i) + b) \leq \epsilon + \xi_i ] [ (\mathbf{w} \cdot \phi(\mathbf{x}_i) + b) - y_i \leq \epsilon + \xi_i^* ] [ \xi_i, \xi_i^* \geq 0 ]

Здесь:

• (\mathbf{w}) представляет вектор весов.
• (\phi(\mathbf{x}_i)) является функцией трансформации признаков.
• (b) является членом смещения.
• ( \xi_i) и (\xi_i^* ) являются переменными расслабления, представляющими отклонения.
• (\epsilon) является полем потерь субъективной чувствительности.
• (C) является параметром регуляризации, который управляет компромиссом между плоскостью функции регрессии и терпимостью к выбросам.

Трюк ядра

SVR может справляться с нелинейными отношениями, применяя трюк ядра. Ядра неявно отображают входные данные в высокомерное пространство признаков, где можно выполнять линейную регрессию. Обычно используемые ядра включают:

• Линейное ядро
• Полиномиальное ядро
• Ядро радиального базиса (RBF)
• Сигмоидное ядро

Процедура алгоритма

1. Подготовка данных: начните с набора данных, состоящего из пар вход-выход ((\mathbf{x}_1, y_1), (\mathbf{x}_2, y_2), \ldots, (\mathbf{x}_n, y_n)).

2. Выбор ядра: выберите подходящую функцию ядра на основе распределения данных и природы проблемы регрессии.

3. Настройка параметров: определите значения эпсилона ((\epsilon)) и параметра регуляризации (C) с помощью методов, таких как перекрестная проверка.

4. Обучение модели: решите задачу квадратичного программирования, чтобы определить вектор весов ((\mathbf{w})) и смещение (b), которые минимизируют целевую функцию.

5. Прогнозирование: используйте обученную модель для прогнозирования новых данных. Функция прогнозирования: [ f(\mathbf{x}) = \mathbf{w} \cdot \phi(\mathbf{x}) + b ]

Применение SVR

Регрессия опорных векторов используется в различных реальных приложениях, таких как:

• Финансовые рынки: прогнозирование цен акций и финансовых временных рядов.
• Прогнозирование погоды: моделирование температуры, влажности и других климатических условий.
• Биомедицинская инженерия: прогнозирование прогрессирования болезни и результатов для пациентов.
• Прогнозирование энергетической нагрузки: оценка будущего потребления энергии.
• Электронная коммерция: прогнозирование цены и спроса.

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Гибкость: способна моделировать сложные нелинейные отношения, используя функции ядра.
• Надежность: эффективна в высокомерных пространствах и с большим количеством признаков.
• Обобщение: хорошая производительность на невиданных данных благодаря структурированной задаче оптимизации.

Недостатки

• Вычислительные затраты: SVR может быть вычислительно интенсивной для больших наборов данных, требуя значительной памяти и мощности обработки.
• Чувствительность параметров: выбор подходящих параметров (ядра, C и (\epsilon)) может быть сложным и требует знания предметной области и экспериментирования.

Реализация SVR

SVR реализована в различных библиотеках и платформах машинного обучения:

• scikit-learn: популярная библиотека scikit-learn на Python предоставляет простую в использовании реализацию SVR.
• Документация scikit-learn SVR
• LIBSVM: библиотека для SVM и SVR, часто используемая в научных исследованиях.
• Документация LIBSVM
• TensorFlow: библиотека TensorFlow от Google также предоставляет возможности для регрессии с использованием SVM.
• Документация TensorFlow

Заключение

Регрессия опорных векторов является универсальным и мощным методом для анализа регрессии, способным справляться с линейными и нелинейными отношениями благодаря использованию различных функций ядра. Его применение охватывает многочисленные области, от финансов до здравоохранения, подчеркивая его полезность и эффективность. Несмотря на некоторые трудности с вычислительной сложностью и настройкой параметров, SVR остается ценным инструментом для прогностического моделирования в машинном обучении.