Одномерные модели временных рядов

Одномерные модели временных рядов - это статистические методы, используемые для анализа последовательности точек данных, собранных во времени. Эти модели используют прошлую информацию самого ряда для прогнозирования будущих значений. Они являются основой многих приложений в таких областях, как финансы, экономика, инженерия и наука об окружающей среде. В сфере алгоритмической торговли одномерные модели временных рядов имеют ключевое значение для принятия обоснованных инвестиционных решений.

1. Введение в одномерные временные ряды

Одномерный временной ряд состоит из наблюдений за одной переменной, последовательно индексируемых во времени. Набор данных обозначается как ({y_t}) для (t = 1, 2, \ldots, T), где (y_t) - наблюдение в момент времени (t), а (T) - общее количество временных периодов. Основная задача анализа временных рядов - смоделировать эту временную последовательность, чтобы понять её базовый процесс и сделать прогнозы.

2. Компоненты временных рядов

Любые данные временных рядов могут быть разложены на несколько компонентов:

• Тренд: Долгосрочное развитие ряда, которое может быть восходящим, нисходящим или постоянным.
• Сезонность: Регулярно повторяющиеся паттерны или циклы в ряду, обычно связанные с календарными периодами.
• Циклические вариации: Колебания в ряду, которые не имеют фиксированного периода и длиннее сезонных циклов.
• Нерегулярные или случайные вариации: Непредсказуемые колебания из-за случайных влияний.

3. Авторегрессионные (AR) модели

Авторегрессионные модели прогнозируют будущие значения на основе прошлых значений. AR модель порядка (p) (AR(p)) определяется как:

[ y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t ]

где (\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_p) - параметры, а (\epsilon_t) - белый шум. Модель предполагает, что (y_t) линейно зависит от своих предыдущих значений.

4. Модели скользящего среднего (MA)

Модели скользящего среднего используют прошлые ошибки прогнозирования в регрессионной модели. MA модель порядка (q) (MA(q)) задается как:

[ y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q} ]

где (\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_q) - параметры, а (\epsilon_t) - белый шум. Модель делает акцент на недавних ошибках в ряду.

5. Модели авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA)

Модели ARIMA объединяют функции моделей AR и MA и интегрируют концепцию дифференцирования ряда для достижения стационарности. Модель ARIMA(p,d,q) описывается как:

[ \Delta^d y_t = \phi_1 \Delta^{d-1} y_{t-1} + \cdots + \phi_p \Delta^{d-1} y_{t-p} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q} + \epsilon_t ]

Здесь (d) обозначает количество шагов дифференцирования, необходимых для приведения ряда к стационарности.

6. Сезонные модели ARIMA (SARIMA)

Когда данные демонстрируют как несезонные, так и сезонные свойства, используются модели SARIMA. Модель SARIMA(p,d,q)(P,D,Q,s) включает сезонные компоненты:

[ \Phi_P(B^s) (1 - B^s)^D y_t = \Theta_Q(B^s) \epsilon_t ]

где (\Phi_P) и (\Theta_Q) - полиномы порядка (P) и (Q) в операторе обратного сдвига (B), а (s) - сезонный период.

7. Методы экспоненциального сглаживания

Экспоненциальное сглаживание - это интуитивный и практичный подход к прогнозированию временных рядов, который применяет взвешенные средние к прошлым наблюдениям. Три распространенных типа:

• Простое экспоненциальное сглаживание: Для рядов без тренда/сезонности,

[ y_t = \alpha y_{t-1} + (1 - \alpha) S_{t-1} ]

где (0 < \alpha < 1) - параметр сглаживания.

• Метод линейного тренда Холта: Расширяет простое сглаживание добавлением компонента тренда,

[ S_t = \alpha y_t + (1 - \alpha)(S_{t-1} + T_{t-1}) ]

[ T_t = \beta (S_t - S_{t-1}) + (1 - \beta) T_{t-1} ]

• Метод Холта-Винтерса: Включает как тренд, так и сезонные компоненты,

[ S_t = \alpha \frac{y_t}{I_{t-s}} + (1 - \alpha) (S_{t-1} + T_{t-1}) ]

[ T_t = \beta (S_t - S_{t-1}) + (1 - \beta) T_{t-1} ]

[ I_t = \gamma \frac{y_t}{S_t} + (1 - \gamma) I_{t-s} ]

8. Выбор и оценка модели

Выбор подходящей модели включает баланс между сложностью и соответствием, часто используя информационные критерии, такие как информационный критерий Акаике (AIC) или байесовский информационный критерий (BIC). После выбора модели её точность может быть оценена с помощью таких мер, как средняя абсолютная ошибка (MAE), среднеквадратическая ошибка (MSE) или средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE).

9. Применение в алгоритмической торговле

Одномерные модели временных рядов широко используются в алгоритмической торговле для прогнозирования и принятия решений. Например:

• Прогнозирование цен: Модели ARIMA могут прогнозировать будущие цены акций на основе исторических цен.
• Моделирование волатильности: Модели GARCH могут прогнозировать будущую рыночную волатильность, что критично для управления рисками.
• Корректировка сезонности: Модели SARIMA учитывают сезонные эффекты в изменении цен, что важно для торговли сырьевыми товарами.

Несколько компаний специализируются на предоставлении инструментов и платформ для алгоритмической торговли, включая:

• QuantConnect
• AlgoTrader
• Quantopian (приобретена Robinhood): Прямой ссылки нет, так как сервис интегрирован в Robinhood.

10. Заключение

Одномерные модели временных рядов являются фундаментальными методами в анализе временных рядов, предлагая широкий спектр инструментов для понимания и прогнозирования временных данных. От моделей AR и MA до сложных моделей ARIMA и SARIMA, каждая служит определенным целям и адаптирована к различным характеристикам набора данных. В алгоритмической торговле эти модели предоставляют аналитическую основу для прогнозирования цен и эффективного управления инвестиционными рисками.