Портфель среднего и дисперсии

Теория портфеля среднего и дисперсии, представленная Гарри Марковицем в его основополагающей работе “Выбор портфеля”, опубликованной в 1952 году, представляет собой математическую основу для построения инвестиционного портфеля таким образом, что для данного уровня ожидаемой доходности риск (дисперсия) минимизируется, или, эквивалентно, для данного уровня риска ожидаемая доходность максимизируется. Эта теория ознаменовала начало современной теории портфеля (MPT).

Ключевые концепции

  1. Ожидаемая доходность: Средняя доходность актива или портфеля на основе исторических данных или прогнозов аналитиков. Если ( r_i ) представляет доходность актива ( i ), а ( p_i ) вероятность такой доходности, то ожидаемая доходность ( E(R) ) рассчитывается как:

[ E(R) = \sum_{i} p_i \cdot r_i ]

  1. Дисперсия и ковариация: Дисперсия измеряет разброс доходностей вокруг их среднего значения, представляя риск. Для двух активов ковариация показывает, как их доходности движутся вместе, и она критически важна для расчета риска портфеля. Математически:

[ \text{Var}(R) = \sigma^2 = \sum_{i} p_i (r_i - E(R))^2 ]

[ \text{Cov}(R_A, R_B) = \sum_{i} p_i (r_A - E(R_A))(r_B - E(R_B)) ]

  1. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля: Для портфеля, состоящего из ( n ) активов, ожидаемая доходность является взвешенной суммой индивидуальных ожидаемых доходностей:

[ E(R_p) = \sum_{i=1}^n w_i E(R_i) ]

Дисперсия портфеля, которая учитывает ковариации между доходностями активов, составляет:

[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j) ]

Где ( w_i ) обозначает вес актива ( i ) в портфеле.

  1. Эффективная граница: Графическое представление набора портфелей, которые обеспечивают наивысшую ожидаемую доходность для определенного уровня риска. Портфели на эффективной границе считаются оптимальными. Эффективная граница обычно изображается на графике доходности портфеля (ось Y) относительно риска (ось X).

  2. Линия рынка капитала (CML): Когда безрисковый актив вводится в портфельную смесь, может быть выведена линия рынка капитала, которая представляет портфели, оптимально сочетающие безрисковые активы с рыночным портфелем.

[ E(R_p) = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m} \sigma_p ]

Где ( R_f ) - безрисковая ставка, ( E(R_m) ) - ожидаемая доходность рыночного портфеля, а ( \sigma_m ) - стандартное отклонение рыночной доходности.

  1. Коэффициент Шарпа: Индекс, который измеряет избыточную доходность на единицу риска инвестиции. Он рассчитывается как:

[ \text{Коэффициент Шарпа} = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p} ]

Процесс оптимизации

Процесс оптимизации среднего и дисперсии включает следующие шаги:

  1. Определение входных оценок: Определите ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации для всех активов в портфеле.
  2. Построение портфелей: Сгенерируйте набор портфелей с различными весами.
  3. Расчет доходности и риска портфеля: Для каждого портфеля вычислите ожидаемую доходность и риск.
  4. Серия эффективных портфелей: Определите портфели, которые лежат на эффективной границе.
  5. Выбор оптимального портфеля: Выберите оптимальный портфель на основе предпочтений инвестора относительно риска и доходности, который максимизирует коэффициент Шарпа.

Применения и последствия

  1. Построение портфеля: Эта теория широко используется при построении диверсифицированных инвестиционных портфелей для взаимных фондов, хедж-фондов, пенсионных фондов и т. д. Такие компании, как BlackRock и Vanguard, используют продвинутые версии MVT в своих стратегиях управления портфелем.

  2. Управление рисками: Анализ среднего и дисперсии помогает инвесторам понять компромисс между риском и доходностью, позволяя им принимать лучшие решения по управлению рисками.

  3. Пассивное и активное управление: MVT имеет последствия в дебатах между активным и пассивным управлением портфелем. Оно обеспечивает основу для разработки индексных фондов и биржевых фондов (ETF).

Критика и ограничения

  1. Предположение о нормальности: Предполагается, что доходности следуют нормальному распределению, что может не соответствовать действительности на реальных рынках.
  2. Оценка параметров: Точная оценка ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций является сложной задачей.
  3. Меняющаяся динамика: Рыночные условия динамичны, и исторические данные могут не точно предсказывать будущую производительность.
  4. Транзакционные издержки и налоги: MVT не учитывает транзакционные издержки и налоги, которые являются значительными в реальном инвестировании.

Достижения и расширения

  1. Постмодернистская теория портфеля (PMPT): Улучшает MPT, устраняя ее ограничения, рассматривая более реалистичные предположения о распределении доходности и выделяя риск падения.

  2. Модель Блэка-Литтермана: Продвинутая модель построения портфеля, которая включает взгляды инвесторов в ковариационную структуру доходностей.

  3. Робастная оптимизация портфеля: Пытается создавать портфели, которые менее чувствительны к ошибкам в оценках входных данных, повышая стабильность инвестиционных решений.

  4. Машинное обучение в управлении портфелем: Такие компании, как AQR Capital Management, используют методы машинного обучения для улучшения оценки параметров модели и включения нелинейных взаимосвязей между доходностями активов.

В заключение, теория портфеля среднего и дисперсии была краеугольным камнем современных финансов, предоставляя систематический и количественный подход к построению и управлению портфелем. Несмотря на свои ограничения, она остается фундаментальным инструментом для инвесторов, стремящихся оптимизировать характеристики риска и доходности своих инвестиционных портфелей.