Тест Уилкоксона

Тест Уилкоксона — это непараметрический статистический тест, используемый для сравнения двух парных групп. В отличие от параметрических тестов, таких как t-тест, непараметрические тесты не делают никаких предположений о базовом распределении данных. Это делает тест Уилкоксона особенно полезным в ситуациях, когда данные не соответствуют предположению о нормальности или при работе с порядковыми данными или рангами. Тест назван в честь Фрэнка Уилкоксона, который разработал его в 1940-х годах.

Типы Тестов Уилкоксона

Существует два основных типа тестов Уилкоксона:

1. Знаковый Ранговый Тест Уилкоксона: Используется для сравнения двух связанных выборок, сопоставленных выборок или повторных измерений на одной выборке для оценки того, различаются ли их средние ранги популяции.
2. Тест Ранговых Сумм Уилкоксона (также известный как U-тест Манна-Уитни): Используется для сравнения двух независимых выборок для определения того, существует ли разница в их средних рангах популяции.

Знаковый Ранговый Тест Уилкоксона

Знаковый ранговый тест Уилкоксона является непараметрическим аналогом парного t-теста для выборок. Он оценивает, является ли медиана разностей между парами наблюдений нулевой или нет.

Когда Использовать

Используйте знаковый ранговый тест Уилкоксона, когда:

• Разности между парами являются непрерывными, порядковыми или приблизительно интервальными.
• Разности между парами симметрично распределены относительно медианы.
• Размер выборки мал, и данные не соответствуют предположениям парного t-теста.

Предположения

1. Пары выбраны случайно и независимо.
2. Пары связаны.
3. Шкала измерения по крайней мере порядковая.

Процедура

1. Вычислите Разности: Вычислите разности между каждой парой наблюдений.
2. Игнорируйте Нулевые Разности: Если какие-либо разности равны нулю, они исключаются из теста.
3. Ранжируйте Абсолютные Разности: Ранжируйте абсолютные значения оставшихся разностей.
4. Присвойте Знаки Рангам: Присвойте положительный или отрицательный знак рангам на основе знака разностей.
5. Суммируйте Ранги: Вычислите сумму рангов для положительных разностей и сумму для отрицательных разностей.
6. Вычислите Тестовую Статистику: Тестовая статистика — это меньшая из абсолютных значений этих двух сумм.
7. Определите P-Значение: Используйте тестовую статистику, чтобы найти соответствующее p-значение, которое поможет принять или отклонить нулевую гипотезу.

Пример Расчета

Ниже приведен пошаговый пример:

1. Предположим, у нас есть пары данных:
   • Пара 1: (5, 7)
   • Пара 2: (9, 13)
   • Пара 3: (4, 4)
   • Пара 4: (6, 8)
   • Пара 5: (6, 5)
2. Разности:
   • Пара 1: -2
   • Пара 2: -4
   • Пара 3: 0 (игнорируется)
   • Пара 4: -2
   • Пара 5: 1
3. Абсолютные Разности:
   • Пара 1: 2
   • Пара 2: 4
   • Пара 4: 2
   • Пара 5: 1
4. Ранги:
   • Ранг 1: 1
   • Ранг 2: 2.5 (для Пары 1 и Пары 4)
   • Ранг 4: 4
5. Присвойте Знаки и Суммируйте Ранги:
   • Сумма Положительных Рангов: 1 (для Пары 5)
   • Сумма Отрицательных Рангов: 2.5 + 2.5 + 4 = 9

6. Тестовая Статистика: Минимум из 1 и 9 = 1

7. Сравните с критическим значением или определите p-значение для заключения.

Тест Ранговых Сумм Уилкоксона (U-тест Манна-Уитни)

Тест ранговых сумм Уилкоксона разработан для проверки нулевой гипотезы о том, что две популяции равны с точки зрения их центральной тенденции.

Когда Использовать

Используйте тест ранговых сумм Уилкоксона, когда:

• Данные из обеих выборок являются непрерывными, порядковыми или приблизительно интервальными.
• Распределения не обязательно нормальны, и размеры выборок могут быть разными.

Предположения

1. Выборки независимы.
2. Шкала измерения по крайней мере порядковая.

Процедура

1. Объедините и Ранжируйте: Объедините данные из обеих выборок и ранжируйте их от наименьшего к наибольшему. Присвойте ранги, со средними рангами для связей.
2. Разделите Ранги: Разделите ранги обратно на их соответствующие выборки.
3. Суммируйте Ранги: Вычислите сумму рангов для каждой выборки.
4. Вычислите U: Используйте суммы рангов для вычисления статистики U.
5. Определите P-Значение: Используйте статистику U, чтобы найти соответствующее p-значение для вывода о нулевой гипотезе.

Пример Расчета

1. Предположим, у нас есть две выборки:
   • Выборка 1: 10, 15, 20
   • Выборка 2: 15, 20, 25, 30
2. Объедините и Ранжируйте:
   • 10 (1.0), 15 (2.5), 15 (2.5)
   • 20 (4.5), 20 (4.5), 25 (6.0), 30 (7.0)
3. Разделите Ранги:
   • Ранги Выборки 1: 1, 2.5, 4.5
   • Ранги Выборки 2: 2.5, 4.5, 6, 7
4. Суммируйте Ранги:
   • Сумма Рангов Выборки 1: 1 + 2.5 + 4.5 = 8
   • Сумма Рангов Выборки 2: 2.5 + 4.5 + 6 + 7 = 20
5. Вычислите U:
   • U1 = R1 - ((n1 * (n1 + 1)) / 2)
   • U2 = R2 - ((n2 * (n2 + 1)) / 2)
   • Затем U — это меньшее значение U1 и U2. Вычислите соответственно.

Применение в Финансах и Трейдинге

Тесты Уилкоксона, особенно знаковый ранговый тест Уилкоксона, часто используются в финансовом и торговом контекстах для сравнения производительности различных торговых алгоритмов, финансовых моделей или инвестиционных стратегий, когда данные о производительности не соответствуют предположениям о нормальности.

Алгоритмическая Торговля

В алгоритмической торговле тесты Уилкоксона могут использоваться для:

• Сравнения производительности двух торговых стратегий на разных активах или временных периодах.
• Оценки эффективности адаптации или новой версии торгового алгоритма.
• Статистической валидации гипотез количественной торговли без предположения о нормальности.

Приложения Финтех

Финтех-компании применяют тесты Уилкоксона для:

• Валидации моделей: Сравнивая прогностические модели на тестовых наборах данных с ненормальными распределениями.
• A/B тестирования: Оценивая различные финансовые продукты или изменения пользовательского интерфейса, где метрики ответа могут быть не нормально распределены.
• Оценки риска: Сравнивая распределения исторической доходности для оценки моделей риска.

Практический Пример

Например, финтех-компания, такая как Robinhood, может использовать знаковый ранговый тест Уилкоксона для оценки новой функции в своем торговом приложении, которая разработана для помощи пользователям в улучшении торговой производительности. Они могли бы сравнить метрики торговой производительности (такие как ежедневная доходность) выборки пользователей до и после введения новой функции, проверяя, оказывает ли новая функция статистически значимое влияние.

Преимущества и Ограничения

Преимущества

1. Нет предположений о нормальности: Тесты являются непараметрическими и не предполагают нормальное распределение.
2. Устойчивы к выбросам: Меньше подвержены влиянию выбросов по сравнению с параметрическими тестами.
3. Малые размеры выборок: Хорошо работают даже с малыми размерами выборок, где параметрические тесты могут потерпеть неудачу.

Ограничения

1. Меньшая Мощность: Тесты Уилкоксона обычно менее мощны, чем их параметрические аналоги, если базовое распределение нормальное.
2. Проблемы Масштабируемости: Могут стать громоздкими с очень большими наборами данных.
3. Интерпретация: Результаты могут быть менее интуитивными по сравнению с параметрическими тестами.

В заключение, тест Уилкоксона — это универсальный статистический инструмент, который предоставляет надежную альтернативу параметрическим тестам, особенно при работе с ненормальными распределениями или порядковыми данными. Его приложения в финансах и торговле, особенно в алгоритмической торговле и финтехе, подчеркивают его важность в практических, реальных сценариях. Будь то сравнение торговых алгоритмов или оценка финансовых моделей, тест Уилкоксона остается ценным инструментом для аналитиков данных и финансовых аналитиков.